TRIGONOMETRIE
CONSEILS AVANT CE CHAPITRE
Une bonne révision du cours de 1ereS s’impose (cercle trigonométrique,
formules,…)
Evitez de compter systématiquement sur la machine à calculer et vous serez
plus rapides. Dites-vous aussi qu’après le bac, la machine n’est pas
automatiquement autorisée…
Ce chapitre n’est pas difficile, une révision des valeurs du cercle
trigonométrique vous permettra de mieux aborder le chapitre sur les
complexes (notion d’argument).
Bien revoir :
–
Le théorème des gendarmes
La notion de continuité
La dérivée de ?(?? + ?)
TRIGONOMETRIE
FONCIONS COSINUS ET SINUS : DEFINITIONS-PROPRIETES
DEFINITION
La fonction qui à chaque réel x associe cos(x) s’appelle la fonction cosinus : ?(?) =
cos(?)
La fonction qui à chaque réel x associe sin(x) s’appelle la fonction cosinus : ?(?) =
sin(?)
PROPRIETES
1.
−1 ≤ ???? ≤ 1
−1 ≤ ???? ≤ 1
La fonction sinus est impaire : sin(−?) = −????
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à
l’origine
La fonction cosinus est paire : cos(−?) = cos(?)
La courbe représentative de la fonction cosinus par rapport à l’axe des
ordonnées
La fonction sinus et la fonction cosinus sont périodiques de période 2?
sin(? + 2?) = sin(?)
{
→ On étudiera les fonctions cos et sin sur un
cos(? + 2?) = cos(?)
intervalle de 2? ∶] − ?; ?] par exemple
2.
3.
ETUDE DE FONCTIONS SINUS ET COSINUS
DERIVEES
Théorème :
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ
(cos ?)′ = −????
(????)′ = ????
Les fonctions cos(?? + ?) et sin(?? + ?) (a et b sont des constantes réelles)
sont dérivables sur ℝ
(cos[?? + ?])′ = −asin(?? + ?)
(sin[?? + ?])′ = acos(?? + ?)
(On a utilisé ? ′ (?? + ?) = ??′(?? + ?))
On utilise ces dérivées en Physique pour les signaux périodiques
2?
matérialisées par ????(?? + ?) et ????(?? + ?) de période ? = ?
SENS DE VARIATION
CALCUL DE LIMITES
Définition :
lim
?→0
lim
?→0
sin(?)
?
=1
cos(?)−1
?
=0
Démonstration :
Nombre dérivé en 0 de la fonction sinus et cosinus :
lim
ℎ→0
lim
ℎ→0
sin(ℎ)−sin(0)
ℎ
cos(h)−cos(0)
ℎ
= lim
sin(ℎ)
ℎ→0
= lim
ℎ→0
ℎ
= ???′ (0) = cos(0) = 1
cos(h)−1
ℎ
= ??? ′ (0) = −sin(0) = 0
FONCTION TANGEANTE
sin(?)
ℎ(?) =
Ensemble de définition : ℝ{ + ?; ? ∈ ℤ}
Périodique de période ?
tan(−?) = −tan(?) elle est impaire, on peut donc réduire son intervalle d’étude à
cos(?)
?
2
?
[0; ]
2
???′ (?) =
1
??? 2 (?)
= 1 + tan²(?)
lim? tan(?) = +∞
?→
2
?
2
?<