La trigonométrie
Résolution d’une inéquation
trigonométrique à l’aide du cercle
trigonométrique
Résous l’inéquation cos(x)
<
1
2
à l’aide du cercle
trigonométrique.
Etape 1 :
Rechercher les solutions de
l’équation cos(x) =
1
2
• cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude
à [−π; π] dans un premier temps.
• En pointant l’abscisse
1
2
sur l’axe des abscisses et
en se projetant sur le cercle trigonométrique, on
constate que les solutions sur [−π; π] sont :
– x=
π
3
et x = − π3
• cos étant 2π-périodique,
on peut désormais
résoudre l’équation dans R en « ajoutant 2π » aux
résultats obtenus.
• Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la
forme :
– x=
π
3
+ 2kπ ou x = − π3 + 2kπ, avec k un entier
relatif.
Etape 2 :
Etudier à l’aide du cercle
trigonométrique
le
comportement
du
cosinus entre deux solutions consécutives
Encore une fois, cos étant 2π-périodique, on peut
commencer par lire le cercle trigonométrique en
prenant le cas simple où k = 0.
• Si on regarde les x tels que − π3 < x
1
2
• Si on regarde les x tels que x
π
3
– on voit en se projetant sur l’axe des abscisses
que cos(x) <
1
2
cos étant 2π-périodique, on peut généraliser ces
résultats en « ajoutant 2kπ » aux résultats obtenus.
Etape 3 : Conclure
Ainsi, l’équation est vérifiée si et seulement si il existe un
entier k tels que :
•
π
3
+ 2kπ < x < − π3 + 2(k + 1)π