DEMO Résolution-dune-inéquation-trigonométrique-à-laide-du-cercle-trigonométrique

La trigonométrie

Résolution d’une inéquation
trigonométrique à l’aide du cercle
trigonométrique
Résous l’inéquation cos(x)

<

1
2

à l’aide du cercle

trigonométrique.

Etape 1 :

Rechercher les solutions de

l’équation cos(x) =

1
2

• cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude
à [−π; π] dans un premier temps.  
• En pointant l’abscisse

1
2

sur l’axe des abscisses et

en se projetant sur le cercle trigonométrique, on
constate que les solutions sur [−π; π] sont :
– x=

π
3

et x = − π3

•  cos étant 2π-périodique,

on peut désormais

résoudre l’équation dans R en « ajoutant 2π » aux
résultats obtenus.  
• Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la
forme :
– x=

π
3

+ 2kπ ou x = − π3 + 2kπ, avec k un entier

relatif.

Etape 2 :

Etudier à l’aide du cercle

trigonométrique

le

comportement

du

cosinus entre deux solutions consécutives
Encore une fois, cos étant 2π-périodique, on peut
commencer par lire le cercle trigonométrique en
prenant le cas simple où k = 0.  
• Si on regarde les x tels que − π3 < x

1
2

 
• Si on regarde les x tels que x

π
3

– on voit en se projetant sur l’axe des abscisses
que cos(x) <

1
2

  cos étant 2π-périodique, on peut généraliser ces
résultats en « ajoutant 2kπ » aux résultats obtenus.

Etape 3 : Conclure
Ainsi, l’équation est vérifiée si et seulement si il existe un
entier k tels que :
•

π
3

+ 2kπ < x < − π3 + 2(k + 1)π