DEMO Étude-dune-fonction-trigonométrique

Le 20-03-2019

La trigonométrie

Étude d’une fonction
trigonométrique
Étudie la fonction définie par f (x) =

cos(x)
2+cos(x)

et dresse

son tableau de variation.

Etape 1 : Chercher le domaine de définition
de f
Pour x réel, comme cos(x) ≥ −1, on déduit que cos(x) +
2 ≥ 1 et donc que le dénominateur de la fonction n’est
jamais nul.
• f est donc bien définie sur R.

Etape 2 : Etudier la parité et la périodicité de
f
• cos est paire donc f aussi. En effet, pour tout réel x
:
– f (−x) =

cos(−x)
2+cos(−x)

=

cos(x)
2+cos(x)

= f (x)

• cos est 2π périodique donc f aussi. En effet, pour
tout réel x :
– f (x + 2kπ) =

cos(x+2kπ)
2+cos(x+2kπ)

=

cos(x)
2+cos(x)

= f (x)

La périodicité de f va nous permettre de restreindre
l’étude au domaine [−π; π].
Mais commençons par calculer la dérivée pour avoir les
variations de f !

Etape 3 : Calculer la dérivée de f
Il faut toujours commencer par s’assurer que f est
dérivable.
• x 7→ cos(x) + 2 ne s’annule pas et est par définition
dérivable sur R, tout comme x 7→ cos(x).
• f est donc dérivable sur R.
Calculons maintenant la dérivée.
• Pour tout réel x, en utilisant la formule de dérivation
d’un quotient de fonctions :
• f ′ (x) =

− sin(x)(cos(x)+2)−cos(x)×(− sin(x))
(cos(x)+2)2

sin(x)
= −2 (cos(x)+2)
2

Etape 4 : Étudier les variations de f
f étant 2π-périodique, on se limite à l’étudier sur
l’intervalle [0; 2π].
• (cos(x) + 2)2 > 0 pour tout x ∈ [0; 2π].
• Donc f ′ est du signe opposé à sin pour tout réel x.
• On obtient donc le tableau de signe et le tableau
de variation suivant :