TS – CHAP 03 – SUITES – 1cours

Le 20-03-2019

TS

SUITES NUMERIQUES
 VARIATIONS D’UNE SUITE
 Une suite ( u n ) n n0 est croissante signifie que pour tout n  n0 , on a : u n 1  u n .
 Une suite ( u n ) n n0 est décroissante signifie que pour tout n  n0 , on a : u n 1  u n .
 Une suite ( u n ) n n0 est stationnaire(ou constante) signifie que pour tout n  n0 , on a : u n 1  u n .
 Soit ( u n ) n n0 une suite définie par u n  f (n) :

Si f est croissante sur n0 ; , alors la suite ( u n ) n n0 est croissante.

Si f est décroissante sur n0 ; , alors la suite ( u n ) n n0 est décroissante.

 SUITES MAJOREES, MINOREES, BORNEES
 Une suite ( u n ) n n0 est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n  n0 , on ait : u n  M .
 Une suite ( u n ) n n0 est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n  n0 , on ait : u n  m .
 Une suite ( u n ) n n0 est bornée s’il existe deux réels m et M tels que,
pour tout n  n0 , on ait m  u n  M .

 SUITES ARITHMETIQUES
 Dire que la suite ( u n ) est arithmétique signifie qu’il existe un réel r (appelé raison)
tel que pour tout naturel n, u n 1  u n  r .
Il en résulte, quels que soient m et p, u m  u p  (m  p)r , en particulier u n  u 0  nr .
 Si S  u m  u m 1  …..  u p est la somme de N termes consécutifs d’une suite arithmétique,
alors : S 

N (u m  u p )
2

 SUITES GEOMETRIQUES
 Dire que la suite ( u n ) est géométrique signifie qu’il existe un réel q (appelé raison)
tel que pour tout naturel n, u n 1  u n  q .
Il en résulte, quels que soient m et p, u m  u p  q m  p , en particulier u n  u 0  q n .
 Si S  u m  u m 1  …..  u p est la somme de N termes consécutifs d’une suite géométrique,

1 qN
alors : S  u m
1 q

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 3 : SUITES NUMERIQUES – Fiche de cours – 1

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 RECURRENCE
Le raisonnement par récurrence comprend deux étapes distinctes :
 Initialisation : on montre que P (n0 ) est vrai.
Remarque : en général, n 0 a pour valeur 0 ou 1.
 Transmission : soit n un entier naturel donné,
on suppose que P (n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que P ( n  1) ,
c’est-à-dire que l’on montre : P (n) vraie  P ( n  1) vraie.
Remarque : on dit alors que la propriété est héréditaire.

 LIMITE D’UNE SUITE
 Les théorèmes énoncés sur la limite en   d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux fonctions restent valables pour les suites : nous les admettrons.
Comme pour les fonctions, il existe des cas d’indétermination…
 Il convient toutefois de voir la limite suivante, importante surtout pour les suites géométriques :
si a  1
 
lim a n  
n  
si 0  a  1
0
 f est une fonction définie sur un intervalle b; et ( u n ) est la suite définie par u n  f (n) .
l désigne soit un réel, soit   , soit   .
Si lim f ( x)  l , alors lim u n  l .
n  

x  

 CONVERGENCE D’UNE SUITE
 Si ( u n ) a une limite finie, alors on dit que la suite converge.
Sinon (si la limite n’existe pas ou si c’est une limite infinie), alors on dit que cette suite diverge.
 Si une suite converge, alors sa limite est unique.
 Si deux suites ( u n ) et ( v n ) convergent vers l, et si à partir d’un certain rang, u n  wn  v n ,
alors ( wn ) converge vers l (théorème d’encadrement).
 Si, à partir d’un certain rang, u n  l  v n et si la suite ( v n ) converge vers 0,
alors la suite ( u n ) converge vers l.
 Une suite croissante et majorée est convergente.
De même, une suite décroissante et minorée est convergente.
 Soit ( u n ) une suite définie par récurrence : pour tout n, u n 1  f (u n ) .
Si cette suite est convergente et si la fonction f est continue en l,
alors sa limite l est une solution de l’équation l  f (l ) .

 SUITES ADJACENTES
 DEFINITION : On dit que deux suites ( u n ) et ( v n ) sont adjacentes lorsqu’à la fois :
1) l’une des suites est croissante
2) l’autre suite est décroissante
3) lim (u n  v n )  0
n  

 THEOREME : Si deux suites ( u n ) et ( v n ) sont adjacentes,
alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 3 : SUITES NUMERIQUES – Fiche de cours – 2