DEMO Une-suite-géométrique-positive-de-raison-strictement-plus-grande-que-1-diverge-vers-infty

Le 20-03-2019

Les suites

Une suite géométrique positive de
raison strictement plus grande que 1
diverge vers +∞
Théorème
Soit q un réel strictement plus grand que 1, et (un ) la
suite définie par un = q n .
Alors limn→+∞ (un ) = +∞.
Démonstration
Soit α un réel strictement positif et (vn ) la suite définie
par vn = αn + 1.
• limn→+∞ (vn ) = +∞, car α > 0.
La démonstration consiste donc à démontrer la
propriété P (n) : (α + 1)n ≥ αn + 1, pour tout n, puis
à utiliser le théorème de comparaison.

Raisonnons par récurrence :

• Initialisation : P (0) : (α + 1)0 = 1 ≥ 1 + 0 × α, donc
P (0) est vraie.
• Hérédité : supposons P vraie à un certain rang n ≥
0 et étudions l’expression de P (n + 1).
– P (n + 1) : (α + 1)n+1 = (α + 1)(α + 1)n
* Or P (n) étant vraie, on a : (α + 1)n ≥ αn + 1
– Donc (α+1)n+1 = (α+1)(α+1)n ≥ (α+1)(αn+1)
– Donc (α+1)n+1 ≥ 1+α(n+1)+α2 n ≥ 1+α(n+1)
puisque α2 n ≥ 0
– Donc P (n + 1) est vraie.
• Conclusion : on a donc montré par récurrence que
P (n) est vraie pour tout n.
Utilisons cette propriété pour démontrer le théorème :
• q > 1, donc q − 1 > 0. Donc q − 1 est une valeur
possible pour α.
• On remplace donc α par q − 1 dans ces expressions
et on applique la propriété P (n) avec α = q − 1 :
– (1 + (q − 1))n ≥ (q − 1)n + 1 donc q n ≥ (q − 1)n + 1
– Donc un > vn
– Or limn→+∞ (vn ) = +∞, car q − 1 > 0.
• Par

comparaison,

on

conclut

que

que

n

limn→+∞ (q ) = +∞.
Remarque :

on peut prouver de façon symétrique

qu’une suite géométrique négative de raison q < −1
diverge vers −∞.