DEMO Traduire-une-situation-à-l’aide-d’une-suite-arithmético-géométrique

Le 20-03-2019

Les suites

Traduire une situation à l’aide d’une
suite arithmético-géométrique
En 2005, année de sa création, un club de randonnée
pédestre comportait 80 adhérents.

Chacune des

années suivantes on a constaté que :
10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion
au club ;
20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil
des ans.
On désigne, pour tout n entier naturel, par an le nombre
d’adhérents en 2005 + n (ainsi a0 = 80).

Montre

que

pour

tout

entier

naturel

n,

on

a

an+1 = 0, 9an + 20.

Etape 1 : Calculer a1 à partir de a0
Pour calculer a1 on diminue a0 de 10 % (multiplication
par 0, 9) puis on lui ajoute 20.
• On a donc a1 = 0, 9a0 + 20 = 72 + 20 = 92.

Etape 2 : Déterminer an+1 à partir de an
• Chaque année le nombre d’adhérents diminue
de 10 % donc il est mutiplié par 0, 9 (voir rappel
ci-dessus) et an devient 0, 9 × an .
• De plus, il y a 20 nouveaux adhérents chaque
année donc il faut ajouter 20 au nombre trouvé
précédemment.
Ainsi pour tout entier naturel n :
• an+1 = 0, 9an + 20
• Nous sommes donc en présence d’une suite
arithmético-géométrique (car du type un+1 = aun +
b avec a = 0, 9 et b = 20).