DEMO Reconnaître-et-montrer-qu’une-suite-est-géométrique

Le 20-03-2019

Les suites

Reconnaître et montrer qu’une suite
est géométrique
En période de sécheresse, chaque année, une mare
perd un vingtième de son contenu par évaporation par
semaine. En début de période la mare contient 80 m3
d’eau.
On note Vn le volume d’eau de la mare en m3 au bout
de n semaines.
Ainsi V0 = 80.
1. Montre que (Vn ) est une suite géométrique.
2. Calcule le volume d’eau en m3 (arrondi au dixième)
de la mare au bout de 10 semaines.

Etape 1 :

Traduire la diminution par un

produit
• Perdre un vingtième de sa valeur revient à
1
diminuer de 5 % ( 20
=

5
100 ).

• Diminuer de 5 % revient à multiplier par 0, 95 (car
1 − 0, 05 = 0, 95).

Etape 2 : Calculer V1 et V2
On a donc V1 = 0, 95 × 80 = 76 et V2 = 0, 95 × 76 = 72, 2.

Etape 3 : Généraliser
• De Vn à Vn+1 on perd un vingtième.
– Or perdre un vingtième revient à multiplier par
0,95.
• On a donc Vn+1 = 0, 95 × Vn .
– Or V0 = 80.
• Donc (Vn ) est une suite géométrique de raison q =
0, 95 et de premier terme 80.

Etape 4 : Exprimer Vn en fonction de n
(Vn ) étant une suite géométrique de raison q = 0, 95 et
de premier terme 80, d’après la propriété du cours, on a
:
• Vn = (0, 95)n × V0 = (0, 95)n × 80

Etape 5 : Calculer un terme de la suite
En appliquant la formule précédente à n = 10 (car « au
bout de 10 semaines »), on a :
• V10 = (0, 95)10 × 80 ≈ 47, 9