DEMO Déterminer-une-limite-par-comparaison

Le 20-03-2019

Les suites

Déterminer une limite par
comparaison
Étudie la convergence de la suite (un ) définie par un =
2n2 + (−1)n .

Etape 1 : Essayer d’avoir une intuition
On commence par calculer quelques termes « pour voir
ce que ça donne ».
• u1 = 2 × 12 + (−1)1 = 1
• u2 = 9
• u3 = 17
• u4 = 33
Sur quelques valeurs, on voit bien que plus n grandit,
plus un  grandit de façon importante.

On peut donc

légitimement penser que la suite diverge vers +∞.
Il reste encore à le démontrer !

Pour démontrer

qu’une suite diverge vers +∞, on peut essayer de la
minorer par une autre suite dont on sait de façon
certaine qu’elle diverge aussi vers +∞.

Etape 2 : Utiliser la comparaison
On sait que (−1)n est égal à −1 ou 1 suivant que n est pair
ou impair.
• Donc pour tout n, (−1)n > −1.
• Donc pour tout n, un > n2 − 1.
– Or on sait de façon certaine que limn→+∞ (n2 −
1) = +∞.
Donc d’après le théorème des comparaisons de limites,
on a démontré que limn→+∞ (un ) = +∞.