DEMO Calculer-la-somme-des-termes-consécutifs-d’une-suite-géométrique

Le 20-03-2019

Les suites

Calculer la somme des termes
consécutifs d’une suite géométrique
Mathurin a gagné à un concours le prix suivant : au
début on lui remet 1000 € et chaque premier jour du
mois (jusqu’à la fin des temps) on lui remet la moitié de
la somme du mois précédent.
Mathurin est persuadé qu’il va rapidement faire fortune
et envisage déjà de multiple achats.
Montre que Mathurin ne devrait pas être aussi
enthousiaste !

Etape 1 : Reconnaître dans la situation une
suite géométrique
La somme, initialement de 1000 € étant divisée chaque
mois par 2, il s’agit donc d’une suite géométrique :
• de raison

;

1
2

• de premier terme 1000.

Etape 2 :

Définir des notations pour

formaliser le problème
Soit un la somme que l’on remet à Mathurin le ne mois.
Ainsi :
• u0 = 1000 ;
• pour tout entier naturel n, un+1 = 12 un ;
• (un ) est donc une suite géométrique de raison q =

1
2

et de premier terme u0 = 1000.
Soit Sn le capital que Mathurin a accumulé du début du
jeu jusqu’au ne mois.
• On a donc Sn = u0 + u1 + · · · + un .

Etape 3 : Utiliser la formule du cours sur la
somme des termes consécutifs d’une suite
géométrique
Sn représente la somme des n + 1 premiers termes de la
suite géométrique (un ). On a donc :
n+1

• Sn = u0 ( 1−q
1−q ) = 1000 ×

1−(0,5)n+1
.
1−0,5

(
)
• Soit finalement Sn = 2000 1 − (0, 5)n+1 .

Etape 4 :

Utiliser le résultat précédent

pour calculer quelques Sn et faire déchanter
Mathurin !
En appliquant le résultat précédent on trouve :
• au bout d’un an : S12 ≈ 1999, 76. Ce qui n’est pas si
mal mais n’est pas vraiment une fortune…
• Pire, au bout de trois ans S36

2000 (plus

précisément S36 ≈ 1999, 99999998545 !). La fortune
espérée semble stagner autour de 2000 €…
• En effet, puisque 0 < 0, 5 < 1, (0, 5)n+1 tend vers 0
quand n tend vers +∞ et Sn tend donc vers 2000 !
• La fortune de Mathurin vaudra donc au maximum
(dans l’éternité) 2000 € !
Cette addition d’une infinité de termes qui donne une
somme finie fût un problème célèbre de l’histoire de
l’humanité.

Elle est, par exemple, à la source des

paradoxes de Zénon dans l’Antiquité.