TS – CHAP 11 – PROBABILITES – 1cours

Le 20-03-2019

TS

PROBABILITES
 RAPPELS

On désigne par  l’ensemble des résultats possibles, appelé aussi univers.
A et B sont deux évènements quelconques.
nombre de cas favorables
 Dans une situation d’équiprobabilité, p( A) 
.
nombre de cas possibles
 p ()  1 et p(Ø) = 0 et par conséquent pour tout événement A, 0  p ( A)  1 !
 A  B est l’intersection de A et B ; A  B est l’union de A et B ; de plus, on a :
p ( A  B)  p ( A)  p ( B)  p( A  B) .
 A est le complémentaire de A, c’est l’événement contraire de A et on a :
p ( A)  p ( A)  1.

 DENOMBREMENT
 Factorielle : pour tout entier n  1 , on appelle « factorielle n », noté n !, le produit de tous les
entiers de 1 à n. Ainsi : n !  n  (n  1)  (n  2)  …..  3  2  1 .

 Combinaisons : E est un ensemble de n éléments et p un entier tel que 0  p  n : une
combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments.

n 
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble de n éléments est noté C np ou   .
 p
n 
n!
De plus, on a :   
.
 p  p!(n  p)!
n  p n 
 =   .
 Propriétés des combinaisons : Pour tous naturels n et p tels que 0  p  n : 
p
  p
 n   n  1   n  1
 + 
 .
Pour tous naturels n et p tels que 1  p  n  1 :   = 
 p   p  1  p 
 Formule du binôme : Pour tous nombres complexes a et b, et tout naturel n  1 :
n
n
n
n
n
a  bn   a n   a n1b  …..   a n p b p  …..   ab n1   b n .
0
1 
 p
 n  1
n

 ARBRES PONDERES

 Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
 On remarque également que par construction, la somme des probabilités inscrites sur les branches
issues d’un même nœud est toujours égale à 1 (loi des nœuds).

 PROBABILITES CONDITIONNELLES

Pour une même expérience aléatoire, si p( B)  0 , la probabilité conditionnelle de A sachant B (on
dit aussi de A par rapport à B) est le nombre noté p B ( A) (ou p ( A / B ) ) et défini par :
p A  B 
.
p B ( A) 
p( B)
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 11 : PROBABILITES – Fiche de cours – 1

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 INDEPENDANCE ET INCOMPATIBILITE
 Dire que deux évènements A et B sont indépendants signifie que p ( A  B)  p ( A)  p ( B) .
 Dire que deux évènements A et B sont incompatibles signifie que p ( A  B )  0 .

 PROBABILITES TOTALES
 Dire que B1 , B2 ,….., Bn forment une partition de  signifie que les B i sont deux à deux disjoints
et que B1  B2  …..  Bn   .
 Formule des probabilités totales : B1 , B2 ,….., Bn forment une partition de  .
Alors la probabilité d’un événement A est : p( A)  p ( A  B1 )  p ( A  B2 )  …..  p ( A  Bn ) .
Ou encore : p( A)  p( B1 ) p B1 ( A)  p( B2 ) p B2 ( A)  …..  p( Bn ) p Bn ( A)

 VARIABLES ALEATOIRES
 Définition : lorsqu’à chaque éventualité d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on
dit que l’on définit une variable aléatoire.
 Loi de probabilité : lorsqu’à chaque valeur x i (avec 0  i  n ) prise par une variable aléatoire X,
on associe la probabilité p i de l’événement (X = x i ) (c’est-à-dire p i = p( X = x i )), on dit que l’on
définit la loi de probabilité de X.
 Espérance : l’espérance mathématique d’une variable aléatoire est le nombre noté E(X) et défini
n

par : E ( X )   xi pi  x1 p1  x 2 p 2  …..  x n p n .
i 1

 Variance : la variance de X est le nombre noté V(X) et défini par :
n

V ( X )   ( xi  E ( x)) 2 pi  ( x1  E ( X )) 2 p1  ( x2  E ( X )) 2 p 2  …..  ( x n  E ( X )) 2 p n
i 1

Ou encore V ( X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2 .
Exemple : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant deux issues : l’une est
appelée succès et l’autre échec. On note généralement leurs probabilités p et q : on a donc p + q = 1.
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’une même épreuve de Bernoulli, ces épreuves étant
identiques et indépendantes.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès lors d’un schéma de n épreuves de Bernoulli.
n
On a : p( X  k )    p k (1  p) n  k .
k 
De plus E ( X )  np et V ( X )  np(1  p ) .

 PROBABILITES CONTINUES ET DENSITES

 Soit f une fonction continue, positive sur un intervalle I  a; b  (ou I  a; b …).
b

On dit que p est une loi de probabilité de densité f sur I, si p( I )  p(a; b)   f ( x)dx  1 .
a

 Loi de probabilité uniforme : f est la fonction constante sur I  a; b  : f ( x) 

1
.
ba
 Loi de probabilité exponentielle : f est définie sur 0; par : f ( x)  e  x , où   0 .
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 11 : PROBABILITES – Fiche de cours – 2