NOTION Propriétés

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Probabilité conditionnelle
Propriétés
Propriété
Propriétés des probabilités conditionnelles
Soient A et B deux évènements, p(A) ̸= 0.
• 0

pA (B)

1 :

une probabilité

conditionnelle reste une probabilité.
• pA (B̄) = 1 − pA (B)
• pA (A) = 1 : on sait que A est réalisé, la
probabilité qu’il se réalise est donc 1.
• Si A et B sont incompatibles, pA (B) = 0 : on
sait que A est réalisé, B étant incompatible
avec A, il ne peut se réaliser.
Propriété
Intersection et probabilité conditionnelle
Soient A et B deux évènements, p(A) ̸= 0.
• p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
Remarque
• C’est la formule la plus importante de cette
leçon.
• Ainsi, pour compléter les feuilles des arbres
de probabilité, il suffit de multiplier les
probabilités inscrites sur les branches en
amont.
Exemple
Si on reprend notre exemple d’usine :
• p(D ∩ T ) = p(D) × pD (T ) = 0, 2 × 0, 1 = 0, 02
– Ainsi, seulement 2 % des pièces sont
défectueuses

et

passent

pourtant

positivement le test.
• p(D̄ ∩ T̄ ) = p(D̄) × pD̄ (T̄ ) = 0, 8 × 0, 01 = 0, 008
– Ainsi, les pièces saines mises au rebut
représentent 0, 8 % de la production
totale.
• On peut calculer de la même façon p(D ∩ T̄ )
et p(D̄∩T ) et donc compléter l’arbre pondéré
de probabilités.

Remarque
Cette formule est utilisable aussi en intervertissant
A et B, si p(B) ̸= 0.
• p(A ∩ B) = p(A) × pA (B) = p(B) × pB (A)
Cela peut permettre de trouver pB (A) à partir de
pA (B).
Définition
Probabilité et partition de l’univers
Soit Ω l’univers des possibles.
On dit que E1 , E2 , E3 , …, En sont n évènements
formant une partition de l’univers si et seulement
si
• ils sont tous incompatibles entre eux,
• Ω = E1 ∪ E2 ∪ …. ∪ En
On a alors : p(E1 ) + p(E2 ) + …. + p(En ) = 1

Remarque
• Chaque ensemble de branches qui part d’un
nœud de l’arbre doit être une partition de
Ω. Tu dois balayer l’ensemble des possibilités
sans qu’aucune ne se superpose à une autre.
• La somme des probabilités des branches
issues d’un même nœud vaut donc toujours
1.
Ce résultat te permettra souvent de compléter un
arbre de probabilités incomplet.
Théorème
Soit A un évènement de probabilité non nulle, et
Ā son évènement contraire.
• {A; Ā} est une partition de l’univers des
possibles.
On a alors :
• P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ā)
P (B) = PA (B) × P (A) + PĀ (B) × P (Ā)

Probabilités totales
Soit A un évènement.
Si E1 , E2 , E3 , …, En forment une partition de
l’univers Ω, on a :
• p(A) = p(A ∩ E1 ) + · · · + p(A ∩ En ) =

∑n
k=1

p(A ∩

Ek )

Remarque
• Concrètement, cela revient à dire que la
probabilité d’un évènement est égale à
la somme des probabilités des feuilles de
l’arbre de probabilités où cet évènement est
réalisé.
Exemple
Reprenons l’exemple de notre usine.
On voudrait savoir quelle est la probabilité p(T̄ )
que le test place une pièce au rebut.
D et D̄ forment une partition de l’univers donc on
a, selon la formule des probabilités totales :
• p(T̄ ) = p(T̄ ∩ D) + p(T̄ ∩ D̄)

• = picesdf ectueusesmisesaurebut+picessainesmisesau
• p(T̄ ) = 0, 188
Le test place donc 18, 8 % des pièces au rebut.
Cette donnée nous permet de « renverser »
l’arbre pondéré de probabilités dans le but par
exemple de trouver la probabilité qu’une pièce
contrôlée comme défectueuse soit effectivement
défectueuse :
• pT̄ (D) = x =

0,18
0,188

= 0, 957.

Remarque
• Les valeurs sur les feuilles ne changent pas
après un renversement de l’arbre. Attention
par contre de bien remettre chaque feuille
sur sa branche correspondante,

l’ordre

change.
• Ce type d’exercice est un grand classique au
BAC.