NOTION Arbre-pondéré-et-probabilité-conditionnelle

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Probabilité conditionnelle
Arbre pondéré et probabilité conditionnelle
Définition
Arbre pondéré et probabilité conditionnelle
Un arbre pondéré de probabilités représente de
façon hiérarchisée toutes les issues possibles d’un
problème.
Si on a deux expériences successives, la première
ayant 3 issues possibles, la seconde 4 :
• l’arbre commencera par se diviser en 3
branches ;
• puis chacune de ces branches se divisera en
4;
• chaque branche est pondérée par une
certaine probabilité.
De cette façon, toutes les combinaisons possibles
seront représentées par une feuille, située au bout
de chaque branche finale.
Exemple
On a dans un sac des boules rouges (R), jaunes
(J), et noires (N ). Il existe deux modèles de boules
: certaines sont en cuivre (C), d’autres en plomb
(P ). On pioche une boule dans le sac.
On peut alors construire un arbre de probabilités
reprenant toutes les possibilités pour la boule
piochée.

Remarque
Un arbre peut se construire de diverses façons,
selon l’ordre que l’on choisit pour les expériences.
Cela nous sera utile plus tard dans le calcul de
probabilités.
Exemple
L’exemple précédent peut aussi s’illustrer par un
arbre de probabilités commençant par traiter la
couleur des boules avant de s’intéresser à leur
matière. L’arbre reste juste.

Remarque
• L’arbre de probabilité, s’il est bien fait,
permet de schématiser rapidement des
situations qui peuvent paraître complexes
au premier abord,

et de dénombrer

exhaustivement toutes les issues possibles.
• Attention de bien vérifier que, pour chaque
nœud,

l’ensemble

des

branches

qui

en partent représente bien toutes les
possibilités éventuelles. Si tu en oublies une,
l’arbre devient faux.
Définition
Probabilité conditionnelle
On s’intéresse à la probabilité d’un évènement
sachant qu’un autre évènement est déjà réalisé.
Soient A et B deux évènements, p(A) ̸= 0.
La probabilité de B sachant A s’écrit :
• pA (B)
Pour calculer pA (B), on utilise la formule suivante
:
• pA (B) =

p(A∩B)
p(A)

Exemple
Dans une usine fabriquant des pièces de moteur,
on a mis en place un test en fin de chaîne
permettant d’identifier les pièces défectueuses
pour les mettre sur le côté en attendant
réparation. Toutes les pièces sont testées.
Soient D l’évènement « la pièce est défectueuse
», T l’évènement « la pièce est déclarée saine par
le test ».
• On sait qu’en moyenne 20 % des pièces sont
défectueuses à la sortie de la chaîne.
– p(D) = 0, 2
• On sait que ce test permet de repérer 90 %
des pièces défectueuses en moyenne.
– pD (T̄ ) = 0, 9
• Ce test a aussi pour défaut de mettre au
rebut 1 % des pièces saines.
– pD̄ (T̄ ) = 0, 01
Un

arbre

de

probabilité

pondéré

d’illustrer aisément la situation.

permet