DEMO Si-A-et-B-sont-deux-évènements-indépendants-alors-bar-A-et-B-le-sont-aussi

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Si A et B sont deux évènements
indépendants, alors Ā et B le sont
aussi.
Théorème :
Soient A et B deux évènement indépendants.
Ā et B sont alors aussi indépendants.
  Démonstration :
On veut montrer que p(Ā ∩ B) = p(Ā) × p(B).
D’après le cours, on sait que :
• p(Ā ∩ B) = p(B) × pB (Ā)
Or pB (Ā) = 1 − pB (A) (par définition de l’évènement
contraire). D’où :
• p(Ā ∩ B) = p(B) × (1 − pB (A))
A et B étant indépendants, on a : pB (A) = p(A). D’où :
• p(Ā ∩ B) = p(B) × (1 − p(A)) = p(B) × p(Ā)
  Ainsi, on a prouvé que p(Ā ∩ B) = p(Ā) × p(B), ce qui
signifie que Ā et B sont deux évènements indépendants.