TS – CHAP 08 – PRIMITIVES – 1cours

Le 20-03-2019

TS

PRIMITIVES
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

 DEFINITION

Une fonction F est une primitive de f sur I lorsque, pour tout x de I : F ‘  x   f  x  .
Exemple :
Soit la fonction f définie sur IR par : f  x   6 x  5 .

La fonction F définie sur IR par : F  x   3 x 2  5 x  1 est bien une primitive de f sur IR car on a bien
F ‘  x   f  x  pour tout x de IR.

 THEOREME
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I.

 ENSEMBLE DES PRIMITIVES D’UNE FONCTION
Soit F une primitive de f sur I.
– Toute fonction G définie par : G x   F x   k , où k désigne un nombre réel arbitraire, est aussi
une primitive de f sur I.
– Toute primitive de f sur I est de ce type.
Exemple :
Si on considère encore la fonction f définie sur IR par : f  x   6 x  5 .

On a vu que la fonction F définie sur IR par : F  x   3 x 2  5 x  1 est une primitive de f sur IR.
De même, on aurait pu prendre comme primitives de f sur IR les fonctions suivantes :
F1 x   3x 2  5 x , F2  x   3 x 2  5 x  109 , F3  x   3x 2  5 x  7 ,
F4  x   3 x 2  5 x  

,

F5  x   3 x 2  5 x 

6 3  e9

 12 

cos 2 

,

etc …

 RECHERCHE D’UNE PRIMITIVE PARTICULIERE
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Etant donné un réel x 0 de I et un réel quelconque y 0 ,
il existe une unique primitive F de f sur I telle que : F x0   y0 .
Exemple :
Si on considère toujours la fonction f définie sur IR par : f  x   6 x  5 .
On a vu que l’on peut déterminer une infinité de primitives de f sur IR.
Mais une seule de ces primitives vérifie la condition F 0   3 .
Pour la trouver, il suffit de suivre le raisonnement suivant :
On sait que F est de la forme : F  x   3 x 2  5 x  k , où k est un réel quelconque.
et on a : F 0  3  0 2  5  0  k  3  k  3
donc la primitive de f telle que F 0   3 est la fonction F définie par F  x   3x 2  5 x  3 .
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 8 : PRIMITIVES – Fiche de cours – 1

TS

 PRIMITIVES DES FONTIONS USUELLES (k constante)
I 

f x   a

I 

f x   x

I 

f x   x n

I  0; ou    ; 0 

f x  

1
xn

I  0;

f x  

1
x

I  0;

f x  

F x   a x  k

(a constante)

(n entier positif)

F x  

1
x²  k
2

F x  

1 n1
x k
n 1

F x   

(n entier, n > 1)

1
k
n  1 x n1

F x   ln  x   k

1
x

F x   2 x  k

I 

f  x   cos x 

F x   sin x   k

I 

f  x   sin  x 

F  x    cos x   k

f x  

F x   tan x   k

   
I   ; 
 2 2 

1
cos 2 x 

 OPERATIONS SUR LES PRIMITIVES
Fonctions

a  u’

Une primitive

a u

(a constante)

uv

u ‘ v ‘

u ‘u n

n  Z   1

si n  0 : attention u x  doit être  0 sur le domaine de définition

u’
u

u’
u

sur tout domaine où vx   0

sur tout domaine où u x   0

sur tout domaine où u x   0

u
v

ln u  si u x   0

ln  u  si u x   0
2 u

u ‘e u  x 

eu x 

u ‘v ‘u 

vu

MATHEMATIQUES

si n  1

uv

u ‘v  u  v’

u ‘v  u  v’
v2

1 n1
u
n 1

CHAPITRE 8 : PRIMITIVES – Fiche de cours – 2