DEMO Cas-particulier-des-fonctions-avec-valeurs-absolues

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Cas particulier des fonctions avec
valeurs absolues
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = |x − 1|+3.
∫2
Détermine par un calcul d’aire −1 f (x)dx.

Etape 1 : Tracer la représentation graphique
de f
Quand tu as, comme ici, une valeur absolue qui
intervient, il faut tout de suite avoir le réflexe de séparer
les cas pour te ramener à deux fonctions sans valeurs
absolues :
• pour x > 1, x − 1 > 0 donc |x − 1|= x − 1 et donc
f (x) = x − 1 + 3 = x + 2,
• pour x < 1, x − 1 < 0 donc |x − 1|= −(x − 1) et donc
f (x) = −(x − 1) + 3 = −x + 4.
Donc f est définie par :
• f (x) = −x + 4 si x 1
Tu peux alors tracer la représentation graphique de f :

Etape

2

:

Repérer

et

calculer

l’aire

correspondante
On demande de calculer 

∫2
−1

f (x)dx. Cela correspond

donc à l’aire sous la courbe entre −1 et 2.
On se ramène donc au calcul de l’aire des trapèzes
1 et 2.   Rappel : AireT rapeze =

(base1+base2)×hauteur
2

  Donc

ici :
• A1 =

(5+3)×2
2

= 8 unités d’aire ;

• A2 =

(3+4)×1
2

= 3, 5 unités d’aire.

  Dans cet exemple, cela se vérifie facilement en
comptant directement les rectangles unités d’aire
compris dans les trapèzes.  
• L’aire sous la courbe vaut donc 8 + 3, 5 = 11, 5 unités
d’aire.

Etape 3 : Conclure
Ainsi, on a trouvé que

∫2
−1

f (x)dx = 11, 5