TS – CHAP 04 – COMPLEXES – 1cours

Le 20-03-2019

TS

NOMBRES COMPLEXES
 GENERALITES
 L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble des nombres z de la forme z = a + ib ,
où a et b sont des réels quelconques et i un nombre tel que i 2  1 .
Le nombre a est la partie réelle de z, notée aussi Re( z ) .
Le nombre b est la partie imaginaire de z, notée aussi Im(z ) .
 Un nombre complexe est réel si et seulement si Im(z ) =0.
 Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si Re( z ) =0.
 Le point M de coordonnées (a ; b) est appelée image du nombre complexe z = a + ib.
 Le module du nombre complexe z = a + ib est le nombre réel positif : r  z  a 2  b 2 .
 Un argument du nombre complexe z = a + ib est le nombre réel   arg( z ) 2  tel que :
b
a
et sin   .
cos 
z
z

 FORMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
 Forme algébrique : z  a  ib .
 Forme trigonométrique : z  r (cos   i sin  ) .
 Forme exponentielle : z  re i .

 OPERATIONS ALGEBRIQUES
 Deux nombres complexes sont égaux si
ou si

: ils ont mêmes parties réelles et imaginaires
: ils ont même module et même argument modulo 2 .

 Si z  a  ib , le conjugué de z est le nombre complexe noté z tel que z  a  ib .
Si z  re i , le conjugué de z est le nombre complexe noté z tel que z  re  i .
De plus, on a les propriétés suivantes, pour tous complexes z et z ‘  0 :
 zz  z

2

 zz ‘  z z ‘

 z  z’  z  z’

z z
  
 z’  z’

 Pour les arguments, si z et z ‘ sont deux nombres complexes non nuls,
alors on a les propriétés suivantes :
 arg( zz ‘ )  arg( z )  arg( z ‘ ) [2 ]

 arg z n   n arg( z ) [2 ]

1
 arg    arg( z ) [2 ] z

z
 arg   arg( z )  arg( z ‘ ) [2 ] .
 z’ 

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 4 : NOMBRES COMPLEXES – Fiche de cours – 1

TS

 EQUATIONS DU 2nd DEGRE A COEFFICIENTS REELS
Soit l’équation ax 2  bx  c  0 , avec a, b et c réels ( a  0 ).
On note   b 2  4ac le discriminant du trinôme ax 2  bx  c .
 Si   0 , les solutions sont réelles, c’est la résolution classique de ce type d’équations dans IR.
 Si   0 , les deux solutions sont complexes et conjuguées :
bi 
bi 
et
z2 
z1 
2a
2a

 NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE
Dans cette partie, le plan est muni d’un repère orthonormal ( O; i; j ).
Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives dans ce plan : z A , z B , z C et z D .
 Longueur : AB  z B  z A

 

 Angles : i; AB  arg( z B  z A )

et

AB; CD  arg zz

D
B

 zC
 zA


 .

 z  zA 
 .
Un cas particulier de cette dernière formule est AB; AC  arg C
 zB  z A 

 TRANSFORMATIONS COMPLEXES
Ici, on considère une transformation d’un point M d’affixe z en un point M’ d’affixe z ‘ .
 Translation :

si t est une translation de vecteur w d’affixe z w ,
alors : z ‘  z  z w .

 Homothétie :

si h est une homothétie de rapport k et de centre A d’affixe z A ,
alors : z ‘ z A  k ( z  z A ) .

 Rotation :

si r est une rotation de centre A d’affixe z A et d’angle  ,
alors : z ‘ z A  e i ( z  z A ) .

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 4 : NOMBRES COMPLEXES – Fiche de cours – 2