NOTION Forme-trigonométrique

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Nombres complexes et géométrie
Forme trigonométrique
Propriété
Forme trigonométrique
Soit z = x + iy un nombre complexe. On pose r =
|z|, θ = arg(z). Alors z peut s’écrire sous la forme,
dite trigonométrique :
• z = r(cos(θ) + i sin(θ))
Propriété
Relations entre forme trigonométrique et
forme algébrique
Si z admet la forme trigonométrique z = r(cos(θ)+
i sin(θ)), alors
• Re(z) = r cos(θ)
• Im(z) = r sin(θ)
Remarque
• Cette
forme

relation

permet

trigonométrique

de

calculer

d’un

la

nombre

complexe à partir de sa forme algébrique,
et inversement.
Exemple
• Soit z le complexe de forme algébrique : z =

3

2
2

+3


2
2 i

– z = 3(
– Or


2
2

2
2

+


2
2 i)

= cos( π4 ) = sin( π4 )

– donc l’écriture trigonométrique de z est
: 3(cos( π4 ) + i sin( π4 )) et |z|= 3.