NOTION Conjugué-et-module-de-nombres-complexes

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Forme algébrique
Conjugué et module de nombres complexes
Définition
Conjugué d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe dont la forme
algébrique est z = a + ib, où a et b sont des réels.
• z̄ = a − ib est le nombre complexe conjugué
de z.
Exemple
Soit z = 1 + 3i.
• Alors z̄ = 1 − 3i
Propriété
Propriétés de calcul des nombres conjugués
Soit z un nombre complexe défini par z = a + ib
avec a, b réels.
• z z̄ = a2 + b2
• Si b = 0, alors z est réel et z = z̄.
• Si a = 0, alors z est un imaginaire pur et z =
−z̄.
Propriété
Conjugué de somme, produit et quotient de
nombres complexes
Soient z et z ′ deux nombres complexes.
• z + z ′ = z̄ + z¯′
• z × z ′ = z̄ × z¯′

(z)
z′

=


,
z¯′

si z ′ ̸= 0

=


3+2i

Exemple

(

1
3+2i

)

=

1
3−2i

Définition
Module d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe dont la forme
algébrique est z = a + ib où a et b sont réels.
• On appelle |z| le module de z.
• |z|=



z z̄ = a2 + b2

Remarque
Module d’un nombre réel
• Lorsque x est réel, son module est |x|=


x2

ce qui correspond à sa valeur absolue, notée
de la même manière.
• On peut donc considérer que le module
généralise la notion de valeur absolue aux
nombres complexes.
Propriété
Module et opérations
Soit z et z ′ deux nombres complexes.
• |z n |= |z|n
• |zz ′ |= |z||z ′ |
• | zz′ |=

|z|
|z ′ | ,

si z’ n’est pas nul

• |z + z ′ |≤ |z|+|z ′ |
Exemple
2
• | 3+4i
|=

|2|
|3+4i|

=

√ 2
32 +42

=

√2
25

=

2
5