NOTION Argument-dun-nombre-complexe

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Nombres complexes et géométrie
Argument d’un nombre complexe
Définition
Argument d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul. Soit M le
point du plan dont il est l’affixe.
• On appelle argument de z une mesure en
⃗ ).
radian de l’angle (⃗u; OM
• On le note arg(z)
Exemple
Le nombre complexe i est l’affixe du point M (0, 1).
• Un argument de z est donc arg(z) =

π
2

Propriété
Argument défini à 2π près
Soit z un nombre complexe, affixe d’un point M
dans le plan complexe.
• L’argument de z est défini à 2π près.
⃗ ) = arg(z) + 2kπ, où k est un entier
• (⃗u; OM
relatif.
Propriété
Argument et opérations
Soient z et z ′ sont deux nombres complexes, avec
z ′ ̸= 0.
• arg(−z) = arg(z) + π + 2kπ où k est un entier
relatif.
• arg(z̄) = − arg(z) + 2kπ où k est un entier
relatif.
• arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) + 2kπ où k est un
entier relatif.
• arg( zz′ ) = arg(z) − arg(z ′ ) + 2kπ où k est un
entier relatif.
• arg(z n ) = n arg(z)
Remarque
Arguments particuliers
• Soit x un nombre réel :
– Si x est positif, son image M est située
sur « la droite » de l’axe des abscisses,
donc son argument est 0 + 2kπ.
– Si x est négatif, son image N est située
sur « la gauche » de l’axe des abscisses,
donc son argument est π + 2kπ.
• Si z est un imaginaire pur de la forme bi avec
b un réel :
– Si b est positif, son image K est située
sur « la partie haute » de l’axe des
ordonnées, donc son argument est

π
2

+

2kπ.
– Si b est négatif, son image L est située
sur « la partie basse » de l’axe des
ordonnées, donc son argument est − π2 +
2kπ.