DEMO Passer-de-la-forme-algébrique-à-la-forme-trigonométrique-ou-à-la-forme-exponentielle

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Passer de la forme algébrique à la
forme trigonométrique ou à la forme
exponentielle

Écris z = 1 + i 3 sous formes trigonométrique et
exponentielle.

Etape 1 : Traduire l’énoncé
• Écrire z sous forme algébrique revient à trouver le
module r et l’argument θ de z tels que z = r(cos(θ)+
i sin(θ)).

Etape 2 : Calculer le module de z
• |z|=




12 + ( 3)2 = 4 = 2

Etape 3 : Calculer l’argument à l’aide des
formules du cours
D’après le cours :
• Re(z) = r cos(θ) donc cos(θ) =
– donc ici : cos(θ) =

Re(z)
r

;

1
2

• De même, Im(z) = r sin(θ) donc sin(θ) =
– donc ici : sin(θ) =

Etape

4

:

Im(z)
r

;


3
2

Reconnaître

des

valeurs

remarquables de cos et sin
• On reconnaît des valeurs particulières de cos et sin.
– cos( π3 ) =
– sin( π3 ) =
• Donc θ =

π
3

1
2

3
2

+ 2kπ où k est un entier relatif.

Etape 5 : Conclure
r = 2 et θ =

π
3

+ 2kπ.

• La forme trigonométrique de z est : z = 2(cos( π3 ) +
i sin( π3 ))
π

• La notation exponentielle de z est : z = 2ei 3