DEMO Déterminer-par-le-calcul-un-ensemble-de-points-du-plan-dont-les-affixes-vérifient-une-équation-donnée

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Déterminer par le calcul un
ensemble de points du plan dont les
affixes vérifient une équation
donnée
Détermine la nature de l’ensemble des points d’affixe z
vérifiant Re( z−1
z−i ) = 0.

Etape 1 : Écrire z sous sa forme algébrique
• On pose z = x + iy, où x et y sont réels.
• On cherche donc à résoudre Re( x+iy−1
x+iy−i ) = 0.

Etape 2 :

Mettre l’équation sous forme

algébrique
• Or

x+iy−1
x+iy−i

x+iy−1
x+iy−i

=

=

x−1+iy
x+i(y−1)

=

(x−1+iy)(x−i(y−1))
(x+i(y−1))(x−i(y−1))

x(x−1)+y(y−1)+i(yx−(x−1)(y−1))
x2 +(y−1)2

• On en déduit ainsi : Re( z−1
z−i ) =

x(x−1)+y(y−1)
x2 +(y−1)2

Etape 3 : Faire apparaître l’équation d’une
forme géométrique simple (droite, cercle)
• D’après ce qui précède :
– Re( z−1
z−i ) = 0 si et seulement si

x(x−1)+y(y−1)
x2 +(y−1)2

= 0.

– Or x2 + (y − 1)2 > 0
– Donc Re( z−1
z−i ) = 0 si et seulement si x(x − 1) +
y(y − 1) = 0. 
• En développant cette expression, on obtient :
– x(x − 1) + y(y − 1) = x2 − x + y 2 − y
• On se rend compte qu’on retombe presque les
identités remarquables (x − 12 )2 = x2 − x +
(y −

=y −y+

1 2
2)

2

1
4

et

1
4.

• On obtient donc :
– x2 − x + y 2 − y = (x − 12 )2 −

+ (y − 12 )2 −

1
4

• D’où x(x − 1) + y(y − 1) = (x − 12 )2 + (y − 21 )2 −

1
2

1
4

1 2
• D’où Re( z−1
z−i ) = 0 si et seulement si (x − 2 ) + (y −
1 2
2)

1
2

=0

1 2
• Donc Re( z−1
z−i ) = 0 si et seulement si (x − 2 ) + (y −
1 2
2)

= 12 .

Etape 4 : Conclure
• On note alors S le point de coordonnées ( 12 , 12 ) et
R=

√1 .
2

• Soit M un point vérifiant la condition de l’énoncé.
– Alors
d’après
le
cours


(x − 21 )2 + (y − 12 )2 = √12 = R

SM

=

• Les points M solutions vérifient donc : SM = R
L’équation décrit donc un cercle de centre S et de rayon
R.