TS – CHAP 12 – Loi Normale Intervalle de fluctuation – 1cours

Le 20-03-2019

LOI NORMALE
INTERVALLE DE FLUCTUATION
ESTIMATION

 Conseils

Ce chapitre fait appel :

à la machine à calculer
à une bonne interprétation des énoncés

Pensez à vous entraîner régulièrement à calculer les valeurs demandées pour les
lois normales à la machine.
N’hésitez pas à revoir les exercices de 2nde sur les intervalles de fluctuation et de
confiance.

LOI NORMALE
INTERVALLE DE FLUCTUATION
ESTIMATION
Si on étudie la loi binomiale sur un grand nombre d’expériences et que la probabilité de
succès sur une expérience n’est pas trop petite (? > 0,1), on peut utiliser alors une loi
normale : on passe alors d’une loi discrète à une continue plus simple. On utilise la loi
normale lorsqu’un critère dépend d’un grand nombre de facteurs ou de paramètres.

LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE ?(?, ?)
 DEFINITION
X la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité de
probabilité la fonction ? définie par :
?(?) =

1
√2?

? −?

2 /2

 FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE CENTREE ET
REDUITE
?

?(?) = ?(? ≤ ?) = ∫ ?(?)?? =
−∞

?
1
+ ∫ ?(?)??
2
0

?

?(? ≤ ? ≤ ?)

?

?

?

?

?(? ≤ ? ≤ ?) = ∫ ?(?)?? = ?(?) − ?(?)
?

 ESPERANCE ET VARIANCE
Pour la loi Normale centrée réduite, on a :

?(?) = 0

?(?) = ?(? − ?(?)2 = 1 (?????)

A retenir :

?(−1 ≤ ? ≤ 1) ≈ 0,683

?(−2 ≤ ? ≤ 2) ≈ 0,954

?(−3 ≤ ? ≤ 3) ≈ 0,997

 PROBABILITE D’INTERVALLE CENTREE EN 0
Si X est une variable aléatoire de la loi ?(0,1) alors pour tout ? ∈ ]0 , 1[ ; il existe un réel
unique ?? positif tel que :
?(−?? ≤ ? ≤ ?? ) = 1 − ?
A retenir :
 si ? = 0,05 ; ?0,05 ≈ 1,96
?(−1,96 ≤ ? ≤ 1,96) = 0,95
 si ? = 0,01 ; ?0,01 ≈ 2,58
?(−2,58 ≤ ? ≤ 2,58) = 0,99

LOI NORMALE ?(? , ?²)
 DEFINITION
Soit ? un réel et ? > 0 ; la variable aléatoire X suit une loi normale ?(? , ?²) si la variable
?−?
? = ? suit la loi normale ?(0,1)
Avec ? : espérance et ?² : variance

 FONCTION DE REPARTITION
?

?(?) = ?(? ≤ ?) = ∫ ?(?)?? = ? (
−∞

?−?
)
?

A retenir :
 ?(? − ? ≤ ? ≤ ? + ?) ≈ 0,68
 ?(? − 2? ≤ ? ≤ ? + 2?) ≈ 0,954
 ?(? − 3? ≤ ? ≤ ? + 3?) ≈ 0,997

 INFLUENCE DE L’ECART TYPE ?
Plus ? est grand, plus la dispersion des données est grande, et plus la courbe est large.

?=

1
2

?=1

68%

95%

95%
99,7%

99,7%
? − 3?

? − 2?

?−?

?+?

? + 2?

? + 3?

THEOREME DE MOIVRE-LAPLACE

 DEFINITION
?? est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ℬ(? , ?)
?−?(?)
? −??
?? est la variable aléatoire telle que ?? = ?(?) soit ?? = ?

√??(1−?)

Pour tous ?, ? ∈ ℝ tels que ? ≤ ? on a :
?
1 −? 2 /2
lim ?(? ≤ ?? ≤ ?) = ∫
?
?? = ?(? ≤ ? ≤ ?) ?ù ? → ?(0,1)
?→+∞
? √2?
Pour les grandes valeurs de n, la loi binomiale ℬ(?, ?) est proche de la loi normale
?(?? ; ??(1 − ?))
Il faut pour cela vérifier que ? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 ?? ?(1 − ?) ≥ 5

INTERVALLE DE FLUCTUATION, ESTIMATION
 RAPPELS DE 2nde

Intervalle de fluctuation au seuil 95%
Proposition : Soit un caractère dont la proportion dans une population donnée est ?.
SI ? ≥ 25 et 0,2 ≤ ? ≤ 0,8 il y a 95% des échantillons de taille ? issus de cette
population qui sont tels que la fréquence ? du caractère dans l’échantillon
1
1
appartient à [? − ? ; ? + ?] √

Application : Prise de décision à partir d’un échantillon.
On choisit de fixer le seuil de décision de sorte que la probabilité de rejeter
l’hypothèse, alors qu’elle est vraie, soit inférieure à 5%
Si ? ∉ à l’intervalle de fluctuation à 95%, on rejette l’hypothèse selon laquelle la
proportion du caractère étudié est ?.

Intervalle de confiance de ? au seuil de 0,95
? = [? −

1
√?

;? +

1
√?

]

? est la proportion du caractère étudié dans une population de taille ?.
Plus ? est grand, plus la décision de l’estimation est grande.
Sous les conditions ? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 ; ?(1 − ?) ≥ 5
Le niveau de confiance est ≈ 95%

 RAPPELS DE 1ère S
Intervalle de fluctuation à 95% d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un
échantillon de taille ?, d’une variable aléatoire X de loi binomiale ℬ(?, ?).
?

?

Cet intervalle est : [

a plus petit entier tel que ?(? ≤ ?) > 0,025

b plus petit entier tel que ?(? ≤ ?) ≥ 0,975

?

; ] ?

?

?

Pour ? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 et ?(1 − ?) ≥ 5 ; [? ; ?] est ≈ le même que [? −
2nde).

1
√?

;? +

1
√?

] (vue en

 INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE
Théorème : Si la variable aléatoire ?? suit une loi binomiale ℬ(?, ?) alors pour tout réel ?
de ]0,1[ :
??
lim ? ( ∈ ?? ) = 1 − ?
?→+∞
?
Ou
?? = [? −

?? √?(1 − ?)
√?

;? +

?? √?(1 − ?)
√?

]

Avec ?? l’unique réel tel que ?(−?? ≤ ?? ≤ ?? ) = 1 − ? où ?? → ?(0,1)
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour ? = 0,05 :
Si ? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 ; ?(1 − ?) ≥ 5
?? = [? − 1,96

√?(1 − ?)
√?

; ? + 1,96

√?(1 − ?)
√?

]

 INTERVALLE DE CONFIANCE AU NIVEAU 0,95 UTILISE EN
ECONOMIE
?? = [? − 1,96

√? (1 − ?)
√?

; ? + 1,96

√? (1 − ?)
√?

]

? : fréquence observée du caractère
? : taille de l’échantillon
Remarque : L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est utilisable si
? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 ; ?(? − 1) ≥ 5
?

?

Si ces conditions ne sont pas réalisées, on utilise l’intervalle de fluctuation [? ; ?] vu en 1ère
.