DEMO Intervalle-de-fluctuation-asymptotique

Le 20-03-2019

Estimation

Intervalle de fluctuation
asymptotique
Théorème
Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi B(n; p).
Soit Fn la fréquence associée à Xn : Fn =

Xn
n .

Soit α un réel de ]0; 1[.
Soit uα l’unique réel tel que P (−uα ≤ N ≤ uα ) = 1 − α, N
étant une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1).
• limn→+∞ P (Fn ∈ In ) = 1 − α
[
] √

p(1−p)
p(1−p)
• avec In = p − uα √n ; p + uα √n
    Démonstration  
• Stratégie
  L’énoncé parle d’une variable suivant une loi binomiale,
et d’une autre suivant une loi normale centrée réduite.
Il va falloir faire le lien entre les deux de façon à pouvoir
utiliser toutes les hypothèses.
La formule de l’intervalle donné achève de nous
convaincre d’utiliser le théorème de Moivre-Laplace.  
• Appliquer le théorème de Moivre-Laplace
 
• Xn suit la loi B(n; p)
• Posons Zn = √Xn −np .
np(1−p)

• Soient a et b deux réels tels que a < b.
• On sait alors, que si N suit la loi N (0; 1), on a :
– limn→+∞ P (Zn ∈ [a; b]) = P (N ∈ [a; b])
  
• Faire intervenir uα
  Appliquons le résultat précédent en prenant a = −uα
et  b = uα :
• limn→+∞ P (Zn ∈ [−uα ; uα ]) = P (N ∈ [−uα ; uα ])
Et, par hypothèse, 
• P (−uα ≤ N ≤ uα ) = 1 − α
Donc :
• limn→+∞ P (Zn ∈ [−uα ; uα ]) = 1 − α
 
• Opérer les transformations nécessaires
  On a maintenant quasiment prouvé le résultat que
nous voulions, il nous reste juste à prouver que le fait que
Zn soit dans  [−uα ; uα ] est équivalent au fait que Fn soit
dans In .  
• Zn ∈ [−uα ; uα ] ⇒ −uα ≤ Zn ≤ uα
• ⇒ −uα ≤ √Xn −np ≤ uα
np(1−p)

Il ne faut pas oublier notre objectif : on veut avoir
un encadrement de Fn

=

Xn
n .

Commençons

par isoler Xn au milieu de l’encadrement, puis en
divisant artificiellement par n, on devrait retomber sur
le résultat recherché.
• ⇒ −uα



np(1 − p) ≤ Xn − np ≤ uα np(1 − p)

• ⇒ −uα



np(1 − p) + np ≤ Xn ≤ uα np(1 − p) + np

Divisons donc maintenant par n.


np(1−p)
np(1−p)
np
Xn
• ⇒ −uα
+


u
+
α
n
n
n
n

np
n

Et en simplifiant :


p(1−p)
p(1−p)
• ⇒ p − uα √n ≤ Fn ≤ p + uα √n
Donc :
• Zn ∈ [−uα ; uα ] ⇒ Fn ∈ In tel qu’il est défini dans
l’énoncé.
  
• Conclure
  Nous avons donc prouvé que
• limn→+∞ P (Zn ∈ [−uα ; uα ]) = 1 − α
Ce qui revient à prouver de manière équivalente que :
• lim
P (Fn ∈ In ) = ] 1 − α, avec In
[ n→+∞


p(1−p)
p(1−p)

p − uα
; p + uα √n
n

=