DEMO Déterminer-un-intervalle-de-fluctuation

Le 20-03-2019

Échantillonnage

et

estimation

Déterminer un intervalle de
fluctuation
Une usine fabrique des composants électroniques et
les vend par lots de 200.
Une étude sur le long terme a montré que l’usine
fabriquait

des

composants

défectueux

avec

une

probabilité de 0, 03.
Le responsable qualité a décidé que les lots pour
lesquels la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 0, 95 était dépassée ne seraient
pas commercialisés.
À partir de combien de composants défectueux dans
un lot, celui-ci ne peut-il pas être commercialisé ?

Etape 1 : Poser clairement les hypothèses et
objectifs
• Soit X la variable aléatoire dénombrant les
composants défectueux au sein d’un lot. Elle suit
la loi binomiale B(200; 0, 03) (on répète pour chaque
lot, une épreuve de Bernoulli de probabilité 0, 03,
200 fois).
• Pour le calcul de l’intervalle de fluctuation, on
prendra donc n = 200 et p = 0, 03.
• Étant donné que l’on recherche l’intervalle de
fluctuation asymptotique au seuil de 0, 95, on
prendra α = 0, 05, et donc uα ≈ 1, 96.
Nous allons commencer par calculer l’intervalle de
fluctuation asymptotique au seuil de 0, 95,

pour

ensuite pouvoir conclure sur le nombre de composants
défectueux entraînant la mise au rebut d’un lot.

Etape 2 :

Vérifier que les conditions de

validité de l’intervalle de fluctuation sont
remplies.
• n = 200 ≥ 30
• np = 200 × 0, 03 = 6 ≥ 5
• np = 200 × 0, 97 = 194 ≥ 5
Les conditions sont donc bien réunies :

on peut

appliquer l’approximation des intervalles de fluctuation.

Etape 3 : Calculer l’intervalle de fluctuation
[
] √

p(1−p)
p(1−p)
• In = p − 1, 96 √n ; p + 1, 96 √n

Soit, étant donné que n = 200 et p = 0, 03 :
] [


0,03(1−0,03)
0,03(1−0,03)


• In = 0, 03 − 1, 96
; 0, 03 + 1, 96
200
200
• In = [0, 0064; 0, 0536]

Etape 4 : Conclure
La borne supérieur de In est une fréquence.
Ainsi, la traduction de ce que souhaite le responsable
qualité est que tout lot contenant plus de 5, 36 % de
composants défectueux ne soit pas commercialisé.
Cela représente 0, 0536 × 200

=

10, 72 composants

défectueux dans un même lot.
Ainsi, à partir de 11 composants défectueux, le lot
ne sera pas commercialisé.