TS – CHAP 11 – Loi uniformes-exponentielle – 1cours

Le 20-03-2019

LOI DE PROBABILITE CONTINUES
LOI UNIFORME-LOI EXPONENTIELLE

 Conseils
Notions à revoir :
 Les propriétés des intégrales
 Le calcul de primitives avec des exponentielles ; les limites d’exponentielles
?(?∩?)
 La formule de probabilités conditionnelles ?? (?) = ?(?)

? ? × ? ? = ? ?+?
1
La manipulation des exposants avec les exponentielles : { ? −? = ? ?
? ??? = ?
La manipulation des formules avec les logarithmes :
?
?
o ln (?) = − ln (?)
o ???? = ????

LOI DE PROBABILITE CONTINUES
LOI UNIFORME-LOI EXPONENTIELLE
Jusqu’à présent ont été vues les variables aléatoires qui ne prennent qu’un nombre fini de
valeurs : elles sont dites discrètes (loi binomiale).
Mais, si la variable aléatoire prend une infinité de valeurs dans un intervalle donné, on
parle de variable aléatoire continue. On associe alors à la variable X un intervalle de ℝ
et on définit une densité de probabilité.

LOI A DENSITE
 DEFINITION
On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X toute fonction
f:
– continue sur un intervalle I
– positive sur I
– ∫(?) ?(?)?? = 1
L’aire du domaine D délimité par la courbe représentative de f et l’axe des
abscisses est 1.

 PROBALITE D’UN EVENEMENT- FONCTION DE REPARTITION
Soit X la variable aléatoire de densité f.
On a :
?
 ?(? ≤ ? ≤ ?) = ∫? ?(?)??

?

?

?(? ≤ ?) = ∫−∞ ?(?)?? = lim ∫? ?(?)??
?→−∞

?(? ≤ ? ≤ ?

b

a

?

Définition : ?(?) = ?(? ≤ ?) = ∫−∞ ?(?)??. F est la fonction de répartition de X
Pour tout réel ? ;
 ?(? = ?) = 0
 ?(? ≤ ? ≤ ?) = ?(? < ? ≤ ?) = ?(? ≤ ? < ?) = ?(? < ? < ?)
 ?(? ≤ ?) = ?(? < ?)

 ESPERANCE MATHEMATIQUE
Définition : Soit X une variable aléatoire de densité f, f continue sur I.
Alors ?(?) = ∫? ?. ?(?)??

LA LOI UNIFORME (1er EXEMPLE DE LOI CONTINUE)
→ On utilise ce type de loi lorsqu’on choisit au hasard un nombre réel X entre a et b par
exemple.

 DEFINITION
On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [?, ?] si elle admet pour densité f
définie par :
1
 ?(?) = ?−? si ? ? [?, ?] 

?(?) = 0 sinon

Son espérance mathématique est : ?(?) =

?+?
?

 FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI UNIFORME SUR [?, ?]

0 ?? ? ?
?

?(?) = 1/(? − ?)

?

?

?

1
?(?) =

?−?
?−?

?

?

?

LA LOI EXPONENTIELLE (2ème EXEMPLE DE LOI CONTINUE)
 DEFINITION
La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre ? > 0 si elle admet pour
densité f définie par :
 ?(?) = ?? −?? ?? ? ≥ 0
 ?(?) = 0 ?????
?

Son espérance mathématique est : ?(?) = ? → démonstration exigible au bac

1 − ? −??

?

?

Démonstration : ?(?) = lim ∫0 ?(?)?? ???? ?(?) = ??. ? −??
?→+∞

?′ (?) = ?? −?? + ??. (−?? −?? ) = ?? −?? − ??(?)
???? ∶ ?′ (?) − ?? −?? = −??(?)
1
?(?) = − ? ?′ (?) + ? −??
?

?

1

1

1

1

?′ ?ù ∫0 ?(?)?? = ∫0 (− ? ?′ (?) + ? −?? ) ?? = [− ? ?(?) − ? ? −?? ] ?0 = ? (−? −?? − ??? −?? +

?? lim ? −?? = 0
?→+∞

lim (??)? −(??) = 0

?→+∞

?

1

???? lim ∫0 ?(?)?? = ?
?→+∞

 FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI EXPONENTIELLE DE
PARAMETRE ? > ?
? ?? ? ?) = 1 − ?(? ≤ ?) = ? −??
?(? ≤ ? ≤ ?) = ? −?? − ? −??

(FIGURE)

 LOI DITE SANS MEMOIRE OU SANS VIEILLISSEMENT
Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ? alors pour tout
réels ? et ℎ > 0 :
?(? ≥ ? + ℎ) = ?(? ≥ ℎ) → la probabilité qu’un appareil fonctionne encore ℎ années sachant
qu’il fonctionne à l’instant ? ne dépend pas de ?.

Démonstration (exigible au bac) : ??≥? (? ≥ ? + ℎ) =
? −?? ×? −?ℎ
? −??

?(?≥? ?? ?≥?+ℎ)∗
(? (?≥?)

=

?(?≥?+ℎ)

= ? −?ℎ = ?(? ≥ ?)

*J’applique la formule des probabilités conditionnelles ?? (?) =

?(?∩?)
?(?)

?(?≥?)

=

? −?(?+ℎ)
? −??

=