NOTION Loi-normale-centrée-réduite

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Lois à densité usuelles
Loi normale centrée réduite
Remarque
D’après les travaux de Moivre-Laplace, si on prend
Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B(n; p), et qu’on pose : Zn = √Xn −np , alors :
np(1−p)

• quand n devient assez grand ;
• la représentation de la densité de Zn se
rapproche d’une courbe en cloche centrée
sur l’axe des ordonnées.
Ces résultats ne sont absolument pas à retenir !

Définition
Loi normale centrée réduite N (0; 1)
La loi normale centrée réduite N (0; 1) est la loi de
probabilité continue dont la densité est définie
pour tout t réel par :
• f (t) =

2

t
√1 e− 2

Remarque
• Pour cette loi, le calcul de probabilités
par le calcul intégral est compliqué car
on ne connaît pas de primitive explicite
de la densité f .

Ainsi, la majorité des

exercices te demanderont de passer par les
approximations présentées plus loin.
• Cette densité de probabilité est paire : sa
courbe est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées. C’est un résultat qui peut être
utile.
Propriété
Valeurs remarquables liées à la loi centrée
réduite
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1).
Pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un unique uα réel
positif tel que :
• P (−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α
Pour α = 0, 05, voici une valeur à connaître :
• P (−1, 96 ≤ X ≤ 1, 96) ≈ 0, 95

Remarque
• On peut interpréter ces résultats en termes
d’aire sous la courbe : 95 % de l’aire sous
la courbe de la « cloche » de la densité se
trouve entre −1, 96 et 1, 96.
• Inversement, cela nous dit aussi que 5 % de
l’aire se retrouve à l’extérieur de ces valeurs,
soit 2, 5 % de chaque côté étant donné que
la densité est symétrique par rapport à l’axe
des abscisse ; on dit qu’elle est paire.
• Ces résultats permettent de donner un
premier encadrement des valeurs les plus
probables de cette loi, dont les probabilités
sont difficiles à calculer. Il est important de
connaître cette valeur par cœur.

Espérance et variance de la loi N (0; 1)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1).
• E(X) = 0
• V (X) = 1
Remarque
• C’est pour cette raison qu’on note N (0; 1)
pour la loi centrée réduite.

Le premier

paramètre de cette loi est son espérance, le
second est sa variance.
• Il est logique que l’espérance soit nulle étant
donné que la courbe de la densité est
centrée sur l’axe des ordonnées : il y a autant
de probabilité (autrement dit, d’aire sous la
courbe) de se trouver à gauche qu’à droite
de cet axe, l’espérance est donc nulle.