NOTION Loi-exponentielle

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Lois à densité usuelles
Loi exponentielle
Définition
Soit λ un réel, λ > 0.
La loi exponentielle de paramètre λ est la loi de
probabilité continue dont la densité est définie
pour tout t ∈ [0; +∞[ par :
• f (t) = λe−λt

Exemple
5
2

∫3
2

e− 2 t dt représente donc P (X
5

[2; 3]) si

X est une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle de paramètre λ = 52 .

Probabilité et loi exponentielle
Soit a un réel, a ≥ 0.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre λ > 0.
• P (X ≤ a) = 1 − e−λa
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre

1
10 .

Alors, P (X ≥ 5) = e− 10 ×5 = e− 2 ≈ 0, 6.
1

1

X a 60 % de chances d’être supérieur à 5.
Remarque
Ces formules restent valables en remplaçant les
signes ≥ et ≤ par > et 0.
On a, pour tous réels t et h positifs,
• P(X≥t) (X ≥ t + h) = P (X ≥ h)
Remarque
• La loi exponentielle est souvent utilisée pour
modéliser des notions de « durée de vie ».
• Cette

propriété

montre

que

la

loi

exponentielle modélise des phénomènes
dont la durée de vie probable ne dépend
pas de l’âge.
• On ne pourrait donc pas modéliser l’âge
d’une personne par une loi exponentielle :
une personne de 60 ans n’a pas la même
espérance de vie qu’une personne de 20 ans.
• Par contre, la loi exponentielle est très utile
par exemple en radioactivité pour modéliser
la durée de vie d’un atome radioactif.

Espérance et loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre  λ.
X a pour espérance :
• E(X) =

1
λ

Exemple
Reprenons X la variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre

1
10 .

Admettons que X modélise la durée de vie d’une
machine à laver en années.
La durée de vie moyenne d’une machine à laver
est alors E(X) = 10 ans.