DEMO Utiliser-la-parité-de-la-loi-normale

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Utiliser la parité de la loi normale
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine
population suit une loi normale de moyenne 1, 70 m et
d’écart-type 9 cm.
Quelle est la proportion d’individus mesurant plus de
1, 88 m ?

Etape 1 :

Traduire mathématiquement

l’énoncé
• Soit T la variable aléatoire représentant la taille
d’un individu en mètres.
• T suit la loi N (1, 7; 0, 0081).
• Attention à ne pas oublier qu’on note N (m; σ 2 ) et
non N (m; σ).
• On cherche : P (T ≥ 1, 88).

Etape 2 :

Trouver la formule de cours

correspondante
Tu ne connais pas beaucoup de choses sur la loi normale,
qui est difficile à étudier directement.

Le premier

réflexe est donc de chercher parmi les approximations
données dans le cours :
• on reconnaît ici que 1, 88 = 1, 7 + 2 × 0, 09 = m + 2σ,
• et le cours nous donne : P (m − 2σ ≤ T ≤ m + 2σ) ≈
0, 954.

Etape 3 : Faire intervenir la parité de la
fonction
Le cours ne nous donne que des intervalles centrés sur
m, alors qu’ici on travaille sur un intervalle asymétrique :
[1, 88; +∞[.
Pour cela il faut penser à mettre en jeu les propriétés de
symétrie de la loi normale.
Par symétrie de la loi normale autour de m (n’hésite pas
à t’aider d’un schéma) :
• P (T ≥ 1, 88) = P (T ≥ m + 2σ) =

1
2 P (T

∈] − ∞; m −

2σ] ∪ [m + 2σ; +∞[)
    Ramenons-nous alors à l’intervalle que nous
connaissons, qui est le complémentaire :
• P (T ≥ 1, 88) =

1
2

× (1 − P (T ∈]m − 2σ; m + 2σ[))

N’oublions pas que dans le cas des lois à densité
continues, la probabilité d’une valeur en particulier est
nulle, et que donc la probabilité d’un intervalle ouvert
est la même que celle d’un intervalle fermé.
• P (T ≥ 1, 88) =

Etape

4

:

1
2

× (1 − P (T ∈ [m − 2σ; m + 2σ]))

Application

numérique

et

conclusion
Alors, d’après le cours :
• P (T ≥ 1, 88) ≈

1
2

× (1 − 0, 954)

• P (T ≥ 1, 88) ≈ 0, 023
  Seulement 2, 3 % des individus mesurent plus de 1, 88
m.