DEMO u alpha-et-loi-normale-centrée-réduite

Le 20-03-2019

Les lois à densité

uα et loi normale centrée réduite
Théorème
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale
centrée réduite N (0, 1).
Soit α ∈]0, 1[.
• Il existe un unique réel positif uα tel que P (−uα ≤
X ≤ uα ) = 1 − α.
 Démonstration (exigible)

• Hypothèses et stratégie
• X est une variable aléatoire suivant la loi normale
centrée réduite N (0, 1).
• α est un réel de ]0, 1[.
• Posons g la fonction définie sur [0; +∞[ par :
            g(t) = P (−t ≤ X ≤ t)
 
On veut prouver qu’il existe un unique uα dans [0; +∞[ tel
que g(uα ) = 1 − α.
On parle d’unique antécédent d’une image donnée,
ces notions doivent te faire penser immédiatement au
théorème des valeurs intermédiaires.

Pour pouvoir

utiliser celui-ci, il nous faut prouver que notre fonction g
est strictement monotone sur [0; +∞[ et que ses images
comprennent bien ]0; 1[, segment auquel appartient 1 −
α.    
• Etude de g
  Comme X suit la loi N (0, 1), on a, pour tout t de [0; +∞[,
∫t
g(t) = −t f (x)dx avec f définie sur R par                      
f (x) =

√1

× e−

x2
2

• On sait que f est paire, donc l’aire sous la courbe
à gauche de l’axe des ordonnées est égale à l’aire
sous la courbe à droite de celui-ci, et on peut donc
écrire :
            g(t) = 2

∫t
0

f (x)dx

• On reconnaît alors l’expression de la primitive de f
s’annulant en 0 (voir la leçon sur l’intégration).
• On en déduit que, pour tout t de [0; +∞[, g ′ (t) =
2f (t)
• Or, f étant la densité de la loi N (0, 1), f est
strictement positive sur [0; +∞[ (souviens-toi de sa
représentation graphique).
• Donc, pour tout t de [0; +∞[, g ′ (t) > 0
• Donc g est strictement croissante sur [0; +∞[.
• De plus, g(0) = 2

∫0
0

f (x)dx = 0.

• Et d’autre part, limt→+∞ g(t) = limt→+∞

∫t
−t

f (x)dx

correspond à toute l’aire sous la courbe de f sur R.
Or, f est une densité de probabilité, donc cette aire
vaut par définition 1. Donc limt→+∞ g(t) = 1.
  
• Application

du

théorème

des

valeurs

intermédiaires
  On a prouvé que :
• g est continue sur [0; +∞[ ;
• g est strictement monotone sur [0; +∞[ ;
• ses images balayaient l’intervalle [0; 1[.
On peut donc appliquer le théorème des valeurs
intermédiaires, qui affirme que, quelque soit le réel λ ∈
[0; 1[, il existe un unique réel uλ ∈ [0; +∞[ tel que g(uλ ) = λ.
 
• Conclusion
Or, 0 < α < 1 ⇒ −1 < −α < 0
⇒ 0 < 1 − α < 1.
Donc 1 − α ∈ [0; 1[ et donc il existe un unique réel uα
appartenant à [0; +∞[ tel que g(uα ) = 1 − α.  
On a bien prouvé ce que l’on recherchait.