DEMO Se-ramener-à-la-loi-centrée-réduite

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Se ramener à la loi centrée réduite
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine
population suit une loi N (1, 6; 0, 01).
Déterminer, en exploitant les résultats sur la loi normale
centrée réduite, l’intervalle centré sur 1, 6 dans lequel la
taille d’un individu pris au hasard a 95 % de chances de
se trouver.

Etape 1 :

Traduire mathématiquement

l’énoncé et identifier la notion de cours
en jeu
• Soit T la variable aléatoire représentant la taille
d’un individu en mètres.
• T suit la loi N (1, 6; 0, 01).
• On cherche α tel que : P (1, 6 − α ≤ T ≤ 1, 6 + α) =
0, 95
• On sait que, si X suit une loi N (0; 1), alors P (−1, 96 ≤
X ≤ 1, 96) = 0, 95.

Etape 2 : Se ramener à une loi centrée réduite
T suit la loi N (1, 6; 0, 01), donc

T −1,6
0,1

suit la loi centrée

réduite N (0; 1).
Attention, ne pas oublier que l’énoncé indique la
variance σ 2 et non directement l’écart-type σ : σ =

0, 01 = 0, 1.

Etape 3 : Appliquer la formule de cours
• P (−1, 96 ≤

T −1,6
0,1

≤ 1, 96) = 0, 95

Il nous suffit alors de réarranger l’inéquation, et on a la
réponse !
• −1, 96 ≤

T −1,6
0,1

≤ 1, 96 ⇒ −0, 196 ≤ T − 1, 6 ≤ 0, 196

• ⇒ 1, 404 ≤ T − 1, 6 ≤ 1, 796
Donc, en remplaçant :
• P (1, 404 ≤ T − 1, 6 ≤ 1, 796) = 0, 95

Etape 4 : Conclure
T a donc 95 % de chances de se trouver dans l’intervalle
[1, 404; 1, 796].