DEMO Exploiter-une-loi-exponentielle

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Exploiter une loi exponentielle
Nous nous intéressons à un atome radioactif. Sa durée
de vie en milliers d’années avant désintégration est
modélisée par une variable aléatoire T suivant une loi
exponentielle de paramètre λ.
Une donnée importante en radioactivité est la demi-vie
des particules.

Cela représente la durée au bout de

laquelle la probabilité que la particule étudiée se soit
désintégrée vaut 0, 5.
On sait ici que notre atome radioactif a une demi-vie
t1/2 = 3 milliers d’années.
1. Que vaut le paramètre λ ?
2. Quelle est la probabilité que l’atome se soit désintégré
avant 8000 ans ?
3. Au bout de combien d’années l’atome a-t-il 99 % de
chances de s’être désintégré ?
4. Sachant qu’un atome est encore entier au bout de
2500 ans, quelle est la probabilité qu’il ne se désintègre
pas au cours des 8000 années qui suivent ?

Etape 1 : Traduire mathématiquement les
données de l’énoncé, ainsi que les questions
:
On sait que :
• pour tout α réel positif, P (T ≥ α) = e−λα car X suit
une loi exponentielle de paramètre λ.
• P (T ≥ 3) = 0, 5 car t1/2 = 3
On cherche :
• λ
• P (T ≤ 8)
• α réel positif tel que P (T ≤ α) = 0, 99
• P(T ≥2,5) (T ≤ 10, 5)
Attention pour ce dernier point : on sait que l’atome
a survécu 2500 ans, on cherche la probabilité qu’il se
désintègre dans les 8 milliers d’années qui suivent, donc
que sa durée de vie soit inférieure à 2500 + 8000 = 10500
ans, et non 8000 ans.

Etape 2 : Déterminer λ
• P (T ≥ 3) = 0, 5 ⇒ e−3λ = 0, 5
Il faut alors passer au logarithme de façon à « sortir » le
λ de l’exponentielle. On a alors :
•  ln(e−3λ ) = ln(0, 5)
• ⇒ −3λ = ln( 12 )
Or, selon les propriétés du logarithme népérien, ln( 12 ) =
− ln 2.
• ⇒ λ = − 13 × − ln 2
• ⇒λ=

1
3

ln 2 ≈ 0, 23

Comme dans l’exercice précédent, pour les calculs
suivants, on utilisera la valeur exacte

1
3

ln 2 et non

l’approximation.
Il est conseillé, après avoir résolu une équation comme
celle-ci, de vérifier au brouillon son résultat :
e^-3λ=e−3× 3 ln 2 =e− ln 2 =1 e ^ln 2=1 2=0,5
1

C’est bon !

Etape 3 : Déterminer P (T ≤ 8) :
Attention au sens du signe : ici on cherche la probabilité
que la durée de vie soit inférieure à 8000 ans. Pour cela
on utilise la relation suivante :
• P (T ≤ 8) = 1 − P (T ≥ 8)
• = 1 − e−8× 3 ln 2
1

• ≈ 0, 84

Etape 4 : Déterminer α
La démarche est la même que pour le point précédent,
mais dans l’autre sens. On sait que :
• P (T ≤ α) = 0, 99
C’est-à-dire que :
• 1 − e− 3 ln 2×α = 0, 99
1

Il s’agit donc de résoudre cette équation.

On garde

le réflexe du passage au logarithme pour faire sortir
l’inconnue de l’exponentielle, et on garde en tête les
propriétés du logarithme qui permettent de simplifier
grandement les résultats.
• ⇒ e− 3 ln 2×α = 1 − 0, 99 = 0, 01
1

• ⇒ ln(e− 3 ln 2×α ) = ln 0, 01
1

1
• ⇒ − 13 ln 2 × α = ln( 100
) = − ln 100

• ⇒ ln 2 × α = 3 ln 100
• ⇒α=

3 ln 100
ln 2

≈ 19, 9 milliers d’années.

Ne pas oublier de conclure : au bout d’environ 20000
ans, l’atome a 99 % de chances de s’être désintégré.
Ici encore, il est conseillé de vérifier son résultat au
brouillon :
e^-1 3 ln 2× 3 ln 100 ln 2 = e^- ln 100=1 e ^ ln 100=1 100=0,01
C’est bon !

Etape 5 : Déterminer P(T ≥2,5) (T ≤ 10, 5)
Dès qu’un énoncé mélange loi exponentielle avec des
notions de probabilités conditionnelles, il faut tout de
suite te référer à la notion de loi de durée de vie sans
vieillissement.
• P(T ≥t) (T ≥ t + h) = P (T ≥ h)
Ramenons-nous donc à une formule similaire :
• P(T ≥2,5) (T ≤ 10, 5) = 1 − P(T ≥2,5) (T ≥ 10, 5)
On applique alors la formule :
• P(T ≥2,5) (T ≥ 10, 5) = P (T ≥ 8)
D’où :
• P(T ≥2,5) (T ≤ 10, 5) = 1 − P (T ≥ 8) = P (T ≤ 8)
Et donc, en réutilisant le résultat de l’étape 3 de cet
exercice :
• P(T ≥2,5) (T ≤ 10, 5) = 1 − e−8× 3 ln 2 ≈ 0, 84
1