DEMO Espérance-et-loi-exponentielle-br-br-br

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Espérance et loi exponentielle 
Théorème :
Soit λ un réel strictement positif.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle
de paramètre λ.
• E(X) =

1
λ

  Démonstration :
• Hypothèses et objectif
 
• Soit λ un réel strictement positif.
• Soit X une variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre λ.
• On définit l’espérance de X de la manière suivante
:
          E(X) = limx→+∞

∫x
0

t × λe−λt dt  

On veut montrer qu’alors, E(X) =

1
λ.

Il s’agit donc

de calculer l’intégrale ci-dessus, puis d’en déterminer la
limite quand x tend vers +∞.  
• Recherche d’une primitive
 
• On pourra se référer à l’exercice 2 de la rubrique
A savoir refaire, du chapitre 6 sur l’intégration
qui explique comment trouver une primitive de la
fonction définie sur R par : f (t) = tet .
– Cet exercice nous donnait pour primitive de f
la fonction définie sur R par F (x) = tet − et .
 
• On cherche ici une primitive de la fonction définie
sur [0; +∞[par : g(t) = λte−λt .
          A un facteur −λ près, on retrouve quasiment f .  
• Prenons donc G(t) = −λte−λt − e−λt et calculons sa
dérivée.
                    Pour tout t ∈ [0; +∞[, on a :
– G′ (t) = λ2 e^-λt-λe^-λt + λe^-λtG’(t)=λ2 te−λt =
λg(t)
–• On ne retombe pas sur g(t), mais sur λg(t), prenons
donc

G(t)
λ

pour primitive, et testons à nouveau.

            Pour tout t ∈ [0; +∞[, on a :            
            G(t) = −te−λt − λ1 e−λt            
            G′ (t) = λte^-λt- e−λt + e−λt
G’(t)=λte−λt = g(t)  
• On a donc trouvé une primitive convenable pour
calculer l’intégrale.
          Remarque : si tu te souviens de l’expression de G(t)
tu peux la donner directement et simplement vérifier
que sa dérivée est bien g(t).  
• Calcul de l’intégrale
 

∫x
0

t×λe^-λt dt=[- te−λt -1 λe ^-λt]_0^x=- xe ^-λx− λ1 e−λx + λ1

 
• Passage à la limite et conclusion
À ce stade, on a donc : E(X) = limx→+∞ −xe−λx − λ1 e−λx +
1
λ

 

Or,
• limx→+∞ −xe−λx = limX→−∞ λ1 XeX = 0 d’après les
résultats de cours sur la croissance comparée (voir
leçon sur la fonction exponentielle)
• limx→+∞ − λ1 e−λx = 0
  Donc on trouve bien : E(X) = 0 + 0 +

1
λ

=

1
λ

 
  On a prouvé que l’espérance d’une variable aléatoire
suivant une loi exponentielle de paramètre λ vaut λ1 .