DEMO Calculer-des-probabilités-à-partir-d’une-loi-de-densité

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Calculer des probabilités à partir
d’une loi de densité
1

Soit f la fonction définie sur [1; e 3 ] par :
f (t) =

3
t
1

Soit X une variable aléatoire de densité f sur [1; e 3 ].
1. Calcule P (X ≥ 1, 2)
2. Calcule P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2)
3. (X ≥ 1, 2) et (X ≥ 1, 1) sont-ils indépendants?

Etape

1

:

Traduire

l’énoncé

en

mathématiques, et mobiliser les notions
en jeu
Commencer la résolution d’un exercice par un bilan des
notions du cours qui sont en jeu te permet d’une part
de construire une stratégie de résolution de l’exercice,
d’autre part d’être plus serein(e) face à l’exercice, qui ne
te semble alors plus si insurmontable.  
1

• f est la densité de la variable aléatoire X sur [1; e 3 ],
1

cela signifie que pour tous réels a et b dans [1; e 3 ],
a < b, on a :
– P (a ≤ X ≤ b) =

∫b
a

f (t)dt

 
• Pour la question 2, on se souviendra de la
formule principale de la leçon sur les probabilités
conditionnelles qui affirme que, si A et B sont deux
évènements, p(A) ̸= 0, alors
– p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
 
• Enfin, la dernière question mentionne la notion d’«
évènements indépendants », on se rappellera alors
que si deux évènements A et B sont indépendants,
alors :
– pA (B) = p(B)

Etape 2 : Calculer la probabilité
• P (X ≥ 1, 2) =

∫ e 13

3
dt
1,2 t

Alors, d’après le premier exercice :
1

1

3
• P (X ≥ 1, 2) = [3 ln t]e1,2
= 3 ln e 3 − 3 ln 1, 2 = 3 ×

1
3

3 ln 1, 2 = 1 − 3 ln 1, 2
• P (X ≥ 1, 2) ≈ 0, 45

Etape 3 :

Faire intervenir la notion de

probabilité conditionnelle
D’après la formule de cours :
p(X ≥ 1, 1 ∩ X ≥ 1, 2) = P (X ≥ 1, 1) × P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2)
⇒ P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2) =

p(X≥1,1∩X≥1,2)
P (X≥1,1)

• p(X ≥ 1, 1 ∩ X ≥ 1, 2) = p(X ≥ 1, 2) = 1 − 3 ln 1, 2 car
si X est supérieur à 1, 2, X est forcément supérieur
1, 1.
• P (X ≥ 1, 1) = 1 − 3 ln 1, 1 en suivant les mêmes
étapes de calcul qu’au point 2.
  On obtient donc, en remplaçant : P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2) =
1−3 ln 1,2
1−3 ln 1,1

≈ 0, 63.

Etape 4 :

Tester l’indépendance des

évènements
On a vu que :
• P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2) ≈ 0, 63
• P (X ≥ 1, 2) ≈ 0, 45
On constate que P(X≥1,1) (X ≥ 1, 2) ̸= P (X ≥ 1, 2) donc
(X ≥ 1, 2) et (X ≥ 1, 1) ne sont pas indépendants.

Etape 5 : Remarque
Un bon réflexe est de conserver les valeurs exactes
jusqu’au bout, de ne pas utiliser les approximations
calculées à l’étape précédente pour faire le calcul de
l’étape suivante. Cela permet de limiter l’erreur due aux
approximations.
Ici, par exemple, on reprend à chaque fois 1 − 3 ln 1, 2 au
lieu de 0, 45.