TS – CHAP 01 – LIMITES ET CONTINUITE – 1cours

Le 20-03-2019

TS

LIMITES et CONTINUITE
 RAPPELS SUR LES ASYMPTOTES
 Si lim f ( x)  a , alors la droite d’équation y = a est asymptote horizontale à la courbe de f
x 

(en   ou   , voire les deux).
 Si lim f ( x)   , alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f.
xa

 Si lim f ( x)  (ax  b)  0 , alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe
x 

de f (en   ou   , voire les deux).

 LIMITES DES FONCTIONS DE REFERENCE
Fonction

Ensemble de
définition

Limite en -

Limite en 0

Limite en +

x
x2
x3

IR
IR
IR

-
+
-

0
0
0

+
+
+

1
x

IR *

0

[0 ; + [

/

x

lim

x 0 

1
 
x

et lim 1  
x 0  x

0
+

0

 OPERATIONS SUR LES LIMITES

Dans tout ce paragraphe,  désigne un nombre réel, ou +  ou   ; L et M sont des nombres réels.
a) SOMME DE DEUX FONCTIONS.
Si f a pour limite en 

L

L

L

+



+

Si g a pour limite en 

M

+



+





L+M

+



+



F.I

Alors f + g a pour limite en 

b) PRODUIT DE DEUX FONCTIONS.
Si f a pour limite en 

L

L 0

0

Si g a pour limite en 

M

LM

F.I

Alors f  g a pour limite en 

c) QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS.
Si f a pour limite en 

L

L0

0

Si g a pour limite en 

M0

0

M

0

L
M

F.I

F.I

Alors

f
a pour limite en 
g

Pour déterminer le signe de la limite du produit f  g ou du quotient
MATHEMATIQUES

f
on utilise la règle des signes.
g

CHAPITRE 1 : LIMITES et CONTINUITE – Fiche de cours – 1

TS

 LIMITE D’UNE FONCTION COMPOSEE
a, m et L désignent des nombres réels ou +  ou  
Si lim u ( x)  m et lim v( x)  L alors lim vou ( x)  L
x m

xa

xa

 THEOREME DES GENDARMES
a désigne un nombre réel ou +  ou  .
L désigne un réel.
f , g et h sont des fonctions définies sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I f(x)  h(x)  g(x) et lim f ( x)  lim g ( x)  L
x a

x a

alors lim h( x)  L
xa

 FONCTION CONTINUE
Une fonction f est continue en un point a si lim f ( x)  f (a )
xa

Cette définition signifie en outre que f est définie en a et que lim f ( x) existe.
x a

Une fonction f est continue sur un intervalle I,
si elle est définie sur cet intervalle et si pour tout réel a de I , lim f ( x)  f (a )
xa




Les fonctions polynômes sont continues sur IR.
p
Les fonctions rationnelles
(p et q étant deux polynômes) sont continues sur leur domaine
q
de définition, c’est à dire en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.
La fonction x est continue sur [0 ; + [.
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur IR.

 THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b ],
alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b),
l’équation f (x) = c admet une solution unique x 0  [ a ; b ].

 THEOREME DE LA BIJECTION
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors :
– On dit que f réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ f(a) ;f(b) ] si f est croissante,
et sur [ f(b) ; f(a) ] si f est décroissante.
– Pour tout réel k de l’intervalle d’arrivée, l’équation f(x) = k admet une unique solution x0
dans l’intervalle [ a ; b ].

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 1 : LIMITES et CONTINUITE – Fiche de cours – 2