DEMO Lever-une-indétermination-en-utilisant-le-théorème-des-limites-de-fonctions-composées

Le 20-03-2019

Les limites de fonctions

Lever une indétermination en
utilisant le théorème des limites de
fonctions composées
4
Calcule limx→+∞ ( −2x3x+3
2 +x−6 ) .

Etape 1 : Identifier la fonction composée
• On

est

incapable

de

calculer

simplement

4
( −2x3x+3
on va donc utiliser les fonctions
2 +x−6 ) ,

composées pour déterminer cette limite.
• On pose :
– f définie par f (x)

=

3x+3
−2×2 +x−6

(définie et

continue au voisinage de +∞).
– g définie par g(x) = x4 (définie et continue sur
R).
4
• On a alors ( −2x3x+3
2 +x−6 ) = g ◦ f (x)

Etape 2 :
On commence par calculer la limite de la fonction
« après le ◦ », c’est à dire ici f .
• limx→+∞ f (x) = limx→+∞

3x+3
−2×2 +x−6

= limx→+∞

3x
−2×2

3
– donc limx→+∞ f (x) = limx→+∞ − 2x

– donc limx→+∞ f (x) = 0
f tend vers 0 en +∞, donc on calcule maintenant la
limite en 0 de la fonction « avant le ◦ » (c’est à dire g).
• La fonction g est définie et continue en 0. Donc :
– limx→0 g(x) = g(0) = 04 = 0

Etape 3 :

Appliquer le théorème des

fonctions composées
• limx→+∞ f (x) = 0 et limx→0 g(x) = 0
Donc d’après le théorème des fonctions composées :
• limx→+∞ g ◦ f (x) = 0