TS – CHAP 12 – GEOMETRIE DANS L’ESPACE – 1cours

Le 20-03-2019

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GEOMETRIE DANS L’ESPACE
 PRODUIT SCALAIRE

Dans un repère orthonormal, soient u  x; y; z  et vx’ ; y ‘ ; z ‘ deux vecteurs quelconques et  la
mesure de l’angle géométrique formé par ces deux vecteurs.
 u.v  u  v  cos .
 Si u  AB et v  AC et en notant H le projeté orthogonal de C sur (AB),
alors : AB. AC  AB. AH .
 u.v  xx ‘ yy ‘ zz ‘ .
 Règles de calcul : pour tous vecteurs u , v , et w , et pour tout réel a :
u.v  v.u u
(au ).v  u.(av)  a  u.v
u.(v  w)  u.v  u.w

 u et v sont orthogonaux  u.v  0 .

 BARYCENTRES
n entier supérieur ou égal à 2 et  1 ,  2 ,….., n réels quelconques avec    1   2  …..   n  0 :
 Définition : On considère n points pondérés ( Ai ;  i ) où 1  i  n .
Alors il existe un unique point G vérifiant :  1 GA1   2 GA2  …..   n GAn  0 .
Ce point est appelé barycentre des points ( Ai ;  i ) .
 Invariance : Si on modifie l’ordre des points, le barycentre ne change pas.
Si on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul, le barycentre ne change pas.
 Réduction d’une somme vectorielle : G barycentre des points ( Ai ;  i ) .
Alors pour tout point M du plan,  1 MA1   2 MA2  …..   n MAn   MG .
 Coordonnées : Si les points Ai ont pour coordonnées ( xi ; y i ) , alors on a :
xG 

 1 x1   2 x2  …..   n xn
 y   2 y 2  …..   n y n
 z   2 z 2  …..   n z n
; yG  1 1
; zG  1 1
.


 Barycentre partiel : Le théorème suivant est appelé parfois règle d’associativité.
Si  1   2  …..   p  0 , avec 2  p  n  1 , alors G est aussi le barycentre de
H ( 1   2  …..   p ), ( A p 1 ,  p 1 ),….., ( An ,  n ) .

 Isobarycentre : Le barycentre de n points pondérés ( A1 ;  ) , ( A2 ;  ) , ….., ( An ;  ) est appelé
isobarycentre des n points A1 , A2 , ….., An .
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE – Fiche de cours – 1

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 EQUATION CARTESIENNE D’UN PLAN
 Vecteur normal :
Un vecteur normal à un plan P est un vecteur n non nul dont la direction est orthogonale à P.
 Définition :
Le plan qui passe par A et qui est orthogonal à n est l’ensemble des points M tels que AM .n  0 .
 Théorème :
Dans un repère orthonormal, si n( a; b; c) est un vecteur normal au plan P,
alors celui-ci a pour équation ax  by  cz  d  0 .
De plus, la réciproque est vraie.

 REPRESENTATION PARAMETRIQUE D’UNE DROITE
Soit A( x A ; y A ; z A ) un point d’une droite d et u ( a; b; c) un vecteur directeur de cette droite.
On peut traduire l’appartenance d’un point M ( x; y; z ) à cette droite d de 2 façons :

 Traduction vectorielle : il existe un réel t tel que AM  t u .
 x  at  x A
 Traduction analytique : il existe un réel t tel que  y  bt  y A
 z  ct  z
A

ce système est appelé représentation paramétrique de la droite d et on dit que t est le paramètre.

 INTERSECTIONS DE PLANS ET DE DROITES DANS L’ESPACE
On suppose ici que les plans P et P’ ne sont pas confondus. d est une droite quelconque de l’espace.

 Si les plans P et P’ sont strictement parallèles, alors leur intersection est nulle.
Sinon, s’ils sont sécants, leur intersection est une droite appartenant à l’un et à l’autre.
 Si d est contenue dans P, alors l’intersection de P et de d est la droite d.
Si d est parallèle au plan P, alors l’intersection de P et de d est nulle.
Sinon, c’est-à-dire si d et P sont sécants, leur intersection sera un unique point appartenant à la fois
à la droite d et au plan P.

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE – Fiche de cours – 2