NOTION Repérage

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Géométrie vectorielle
Repérage
Propriété
Repérage de l’espace
Soient ⃗u, ⃗v , et w 
⃗ des vecteurs non coplanaires et O
un point de l’espace. Pour tout point M , il existe
des réels x, y et z, tels que :
⃗ = x⃗u + y⃗v + z w

• OM
  On dit que (O; ⃗u; ⃗v ; w)
⃗ est un repère de l’espace
d’origine O. On appelle (x, y, z) les coordonnées
de M dans ce repère : x est l’abscisse, y l’ordonnée,
et z la cote. On note M (x; y; z)

Définition
Types de repères
Un repère (O; ⃗u; ⃗v ; w)
⃗ de l’espace est dit :
• orthogonal si ses vecteurs sont deux à deux
orthogonaux ;
• orthonormé s’il est orthogonal et si ses
vecteurs sont de norme égale à 1.

Propriété
Repères et vecteurs
Soit (O; ⃗u; ⃗v ; w)
⃗ un repère de l’espace. Si ⃗r est un
vecteur de l’espace, il existe des réels x, y et z, tels
que :
• ⃗r = x⃗u + y⃗v + z w

  On écrit :
• ⃗r(x; y; z)
Propriété
Coordonnées d’un vecteur
Soient (O; ⃗u; ⃗v ; w)
⃗ un repère,

A(xA ; yA ; zA ) et


B(xB ; yB ; zB ) des points de l’espace. Le vecteur AB
a pour coordonnées :
⃗ (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA )
• AB
Propriété
Longueur entre deux points de l’espace
Soient 

(O; ⃗u; ⃗v ; w)

un

repère

orthonormal, 

A(xA ; yA ; zA ) et B(xB ; yB ; zB ) des points de
l’espace.
La longueur AB vérifie :

• AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2