NOTION Plan-et-équation-cartésienne

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Produit scalaire
Plan et équation cartésienne
Propriété
Caractérisation d’un plan par un vecteur normal
et un point
Un plan P est entièrement caractérisé par un
point de P et un vecteur normal à P .

Propriété
Points d’un plan et produit scalaire
Soient A un point et ⃗n un vecteur non nul. On
note P un plan contenant A et de vecteur normal
⃗n.
Le plan P est défini par l’ensemble des points M
vérifiant :
⃗ · ⃗n = 0
• AM
Remarque
• Cette

formule

traduit

simplement

la

caractérisation précédente d’un plan, à
partir d’un point et d’un vecteur normal.
Propriété
Équation cartésienne d’un plan dans un repère
orthonormé
Dans le repère orthonormé (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), soient
A(xA ; yA ; zA ) un point et ⃗n(a; b; c) un vecteur non
nul. On appelle P le plan passant par A et de
vecteur normal ⃗n.
• Les points M (x; y; z) du plan P sont ceux
dont les coordonnées vérifient l’équation
cartésienne : 
– ax + by + cz + d = 0 où d = −(axA + byA +
czA ).
Exemple
Dans le repère orthonormé (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), le plan
passant par le point A(1; 0; 0) et de vecteur normal
⃗n(−1; 6; 4) a pour équation cartésienne −x + 6y +
4z + 1 = 0.
Propriété
Vecteur

normal

à

partir

d’une

équation

cartésienne
Soient (O;⃗i; ⃗j; ⃗k) un repère orthonormé, et  P un
plan d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 où
(a; b; c) ̸= (0; 0; 0).
• Un vecteur normal à P est ⃗n(a; b; c).
Exemple
Dans le repère orthonormé (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), un vecteur
normal au plan d’équation cartésienne 2x − y +
3z + 5 = 0 est ⃗n(2; −1; 3).