NOTION Parallélisme-et-orthogonalité

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Droites et plans
Parallélisme et orthogonalité
Définition
Droites parallèles
Deux droites de l’espace sont dites parallèles s’il
existe un plan qui les contient et dans lequel elles
sont parallèles.
Propriété
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite
parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Définition
Droite parallèle à un plan
Une droite (d) est parallèle à un plan (P ) lorsque
(P ) contient une droite parallèle à (d).

Définition
Plans parallèles
Deux plans (P ) et (P ′ ) sont parallèles s’il existe
dans (P ) deux droites sécantes et parallèles à (P ′ ).

Définition
Droites orthogonales
Deux droites (d) et (d′ ) sont dites orthogonales s’il
existe une droite (D) parallèle à (d) et un plan (P )
qui contient (d′ ) et (D), dans lequel (d′ ) et (D) sont
perpendiculaires.

Remarque
• La notion d’orthogonalité étend la notion de
perpendicularité à l’espace.
• Contrairement au cas plan, deux droites de
l’espace peuvent être orthogonales sans être
sécantes.
Définition
Droite orthogonale à un plan
Une droite est dite orthogonale à un plan si elle
est orthogonale aux droites contenues dans ce
plan.

Propriété
Droite orthogonale à un plan
Si une droite est orthogonale à deux droites
sécantes, alors elle est orthogonale au plan qui les
contient.
Définition
Plans orthogonaux
Deux plans sont orthogonaux lorsque l’un
contient une droite orthogonale à l’autre.  

Propriété
Droites orthogonales et parallèles
• Si deux droites sont parallèles, toute droite
orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
• Si deux droites sont orthogonales, toute
parallèle à l’une est orthogonale à l’autre, et
inversement.
Propriété
Parallélisme et orthogonalité de plans et de
droites
• Si deux plans sont parallèles, toute droite
orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.
– Réciproquement, si deux plans sont
orthogonaux à une même droite alors
ils sont parallèles.
• Si deux droites sont parallèles, tout plan
orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.
Théorème
Théorème du toit
Si une droite (d) est parallèle à deux plans sécants
(P1 ) et (P2 ), alors (d) est parallèle à leur droite
d’intersection D.