NOTION Équations-paramétriques-dune-droite-et-dun-plan

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Géométrie vectorielle
Équations paramétriques d’une droite et
d’un plan
Propriété
Équation paramétrique d’une droite
Dans un repère (O; ⃗u; ⃗v , w),
⃗ soient A(xA ; yA ; zA ) un
point et ⃗u(a; b; c) un vecteur non nul. Soit (d) la
droite passant par A et de vecteur directeur ⃗u.
• Les points M (x; y; z) de (d) vérifient l’équation
paramétrique :
– x = xA + ta
– y = yA + tb
– z = zA + tc
où t est un réel quelconque.
Exemple
La droite passant par le point A(2; 0; −1) et de
vecteur directeur ⃗u(−3; 7; −2) a pour équation
paramétrique :
• x = 2 − 3t
• y = 7t
• z = −1 − 2t
où t est un réel quelconque.
Propriété
Équation paramétrique d’un plan
Dans un repère (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), soit A(xA ; yA ; zA ) un
point, ⃗u(a; b; c) et ⃗v (a′ ; b′ ; c′ ) deux vecteurs non
colinéaires. Soit P le plan passant par A et dirigé
par les vecteurs ⃗u et ⃗v .
• Les points de M (x; y; z) de P

vérifient

l’équation paramétrique :
– x = xA + ta + t′ a′
– y = yA + tb + t′ b′
– z = zA + tc + t′ c′
où t et t′ sont des réels quelconques.
Remarque
• Une équation paramétrique fait intervenir
un ou plusieurs paramètres variables (ici t
et t′ ) pour décrire un objet.

Dans le cas

d’une droite il y en a un (c’est un objet à une
dimension), dans le cas d’un plan il y en a
deux (c’est un objet à deux dimensions).
Exemple
Le plan P passant par le point A(−1; 5; 2) et de
vecteur directeurs ⃗u(1; 2; −4) et ⃗v (−8; 3; 5) a pour
équation paramétrique :
• x = xA + t − 8t′
• y = yA + 2t + 3t′
• z = zA − 4t + 5t′
où t et t′ sont des réels quelconques.