NOTION Définitions-et-propriétés

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Produit scalaire
Définitions et propriétés
Définition
Produit scalaire
Soient ⃗u et ⃗v des vecteurs de l’espace. On appelle
produit scalaire de ⃗u et ⃗v le réel ⃗u · ⃗v égal à :
• 0 si ⃗u ou ⃗v est nul ;
• ||⃗u||×||⃗v ||× cos(⃗u, ⃗v ) sinon.

Remarque
• Cette définition est similaire à celle du
produit scalaire dans le plan.
• Toutes les propriétés du produit scalaire
dans le plan restent valables dans l’espace.
Propriété
Produit scalaire et orthogonalité
Deux vecteurs de l’espace ⃗u et ⃗v sont orthogonaux
si et seulement si ⃗u · ⃗v = 0.
Propriété
Produit scalaire et opération
Le produit scalaire est :
• commutatif : ⃗u · ⃗v = ⃗v · ⃗u pour tous vecteurs
⃗u et ⃗v ;
• linéaire : ⃗u·(⃗v +w)
⃗ = ⃗u·⃗v +⃗u·w
⃗ et ⃗u·(t⃗v ) = t(⃗u·⃗v )
pour tous vecteurs ⃗u, ⃗v et w,
⃗ et tout réel t.
Propriété
Produit scalaire et coordonnées
Soit (O;⃗i; ⃗j; ⃗k) un repère orthonormé et ⃗u(a; b; c) et
⃗v (d; e; f ) deux vecteurs.
• ⃗u · ⃗v = ad + be + cf
Exemple
• Si ⃗u(−2; 0; 4) et ⃗v (3; −1; 1), alors ⃗u · ⃗v = (−2) ×
3 + 0 × (−1) + 4 × 1 = −2.
• Si ⃗u(−2; 0; 1) et ⃗v (2; −1; 4), alors ⃗u · ⃗v = (−2) ×
2 + 0 × (−1) + 1 × 4 = 0. Ces deux vecteurs sont
donc orthogonaux.
Remarque
• Pour retenir la formule, tu constateras que
les abscisses sont multipliées entre elles,
de même pour les ordonnées et les cotes.
Le résultat est alors la somme de ces
multiplications.