DEMO Orthogonalité-d’une-droite-à-un-plan-caractérisée-par-deux-droites-sécantes-du-plan

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Orthogonalité d’une droite à un plan,
caractérisée par deux droites
sécantes du plan
Proposition : 
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes
(d1 ) et (d2 ), alors elle est orthogonale au plan (P ) qui les
contient.  
Démonstration :  
Il suffit de montrer que (d) est orthogonale à toute
droite de (P ).
Soit donc (d′ ) une droite de (P ). On note ⃗v un vecteur
directeur de (d), w
⃗ un vecteur directeur de (d′ ), et u⃗1 et
u⃗2 des vecteurs directeurs de (d1 ) et (d2 ).
Comme w,
⃗ u⃗1 et u⃗2 sont coplanaires, et que u⃗1 et u⃗2 ne
sont pas colinéaires (car (d1 ) et (d2 ) sont sécantes), il

existe x et y tels que w
⃗ = xu⃗1 + y u2.
Or par hypothèse, (d) est orthogonale à (d1 ) et (d2 ), donc
leurs vecteurs sont orthogonaux, c’est-à-dire :
• ⃗v · u⃗1 = 0 et ⃗v · u⃗2 = 0
Ainsi par linéarité du produit scalaire,
• ⃗v · w
⃗ = ⃗v ·(xu⃗1 +y u⃗2 ) = x⃗v · u⃗1 +y⃗v · u⃗2 ) = x×0+y ×0 = 0
Donc ⃗v et w,
⃗ les vecteurs directeurs de (d) et (d′ ),
sont orthogonaux. Et donc les droites (d) et (d′ ) sont
elles-mêmes orthogonales.
Ainsi (d) est orthogonale à toute droite de (P ), et est
donc par définition orthogonale à (P ).