DEMO Équation-cartésienne-d’un-plan

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Équation cartésienne d’un plan
Proposition :
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;⃗i, ⃗j, ⃗k), soient
A(xA , yA , zA ) un point et ⃗n(a, b, c) un vecteur non nul.
Les points M (x, y, z) de l’espace appartenant au plan (P )
passant par A et de vecteur normal ⃗n sont ceux dont les
coordonnées vérifient l’équation :
• ax + by + cz + d = 0
– où d = −(axA + byA + czA ).
Cette équation est appelée équation cartésienne de
(P ).  
Démonstration :   Soit M (x; y; z) un point de l’espace.
Alors M appartient à (P ) si et seulement si la droite
(AM ) est contenue dans (P ). Et comme ⃗n est un vecteur

normal à (P ), M appartient à (P ) si et seulement si AM
et ⃗n sont orthogonaux.
Ainsi en écrivant le produit scalaire dans le repère
orthonormé  (O;⃗i, ⃗j, ⃗k),
⃗ ·⃗n = 0 si et seulement si a(x−xA )+b(y−yA )+c(z−zA ) =
AM
0
On distribue les coordonnées de ⃗n pour trouver :
⃗ ·⃗n = 0 si et seulement si ax+by+cz−(axA +byA +czA ) =
AM
0
Et donc comme d = −(axA + byA + czA ), on a :
⃗ · ⃗n = 0 si et seulement si ax + by + cz + d = 0
• AM
Ainsi M (x, y, z) à (P ) si et seulement si ax + by + cz + d = 0.