DEMO Déterminer-l’orthogonalité-d’une-droite-et-d’un-plan

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Déterminer l’orthogonalité d’une
droite et d’un plan
Dans un repère orthonormé (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), détermine si la
droite (d) d’équation paramétrique :
x = 1 − 4t
y = 5 − 2t
z = −3 + 10t
est orthogonale au plan P d’équation cartésienne
2x + y − 5z + 3 = 0.

Etape 1 : Calculer un vecteur directeur de la
droite
On applique la formule du cours sur l’équation
paramétrique d’une droite.

Un vecteur directeur

de (d) est ⃗u(−4; −2; 10).

Etape 2 : Déterminer si ⃗u et ⃗n sont colinéaires
Cela revient à savoir si l’on peut trouver un réel t tel que
⃗u = t⃗n.
Ici, on constate que ⃗u = −2⃗n.
• Donc ⃗u et ⃗n sont colinéaires.

Etape 3 : Conclure
Comme ⃗u est colinéaire à ⃗n, et que ⃗n est orthogonal à P ,
on en déduit que ⃗u est orthogonal à P .
Or ⃗u est un vecteur directeur de (d).
• Donc (d) est orthogonale à P .