DEMO Calculer-l’intersection-d’une-droite-et-d’un-plan

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Calculer l’intersection d’une droite
et d’un plan
Dans

un

repère

orthonormé

(O;⃗i; ⃗j; ⃗k),

calcule

l’intersection de la droite (AB) et du plan d’équation
cartésienne x − y + 2z − 1 = 0, où A(−1; 0; 1) et B(0; 1; 1).

Etape

1

:

Déterminer

une

équation

paramétrique de la droite
On trouve pour (AB) :
• x = −1 + t
• y=t
• z=1

Etape 2 :

Trouver tous les points de

coordonnées (x; y; z) vérifiant à la fois
l’équation

paramétrique

et

l’équation

cartésienne
Cela revient à résoudre le système :
• x = −1 + t
• y=t
• z=1
• x − y + 2z − 1 = 0
En général, trois cas de figure peuvent se présenter :
• il n’y a aucune solution : le plan et la droite ne
s’intersectent pas ;
• il y une seule solution : la droite « traverse » le plan ;
• il y a une infinité de solutions :

la droite est

contenue dans le plan.
Ici, le système admet une infinité de solutions car pour
tout réel t, en remplaçant les expressions de x, y et z en
fonction de t dans l’équation cartésienne, on trouve :
• x − y + 2z − 1 = (−1 + t) − t + 2 × 1 − 1 = 0.
Ainsi la droite est incluse dans le plan : l’intersection de
(AB) et du plan est (AB).