DEMO Calculer-l’intersection-de-deux-droites

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Calculer l’intersection de deux
droites
Dans un repère orthonormé (O;⃗i; ⃗j; ⃗k), soient A(1; 1; 1),
B(1; 2; 1), C(−1; 0; 1) et D(0; 1; 1) quatre points. Calcule
l’intersection de la droite (AB) avec la droite (CD).

Etape

1

:

Calculer

les

équations

paramétriques des deux droites
Pour (AB), on trouve :
• x=1
• y =1+t
• z=1
Pour (CD) :
• x = −1 + t
• y=t
• z=1

Etape 2 : Trouver tous les triplets (x; y; z) qui
vérifient les deux équations paramétriques
On  cherche t et t′ tels que :
• x=1
• y =1+t
• z=1
• x = −1 + t′
• y = t′
• z=1
En général trois cas de figure peuvent se présenter :
• il n’y a pas de solution : les droites ne s’intersectent
pas ;
• il y a une seule solution : les droites sont sécantes ;
• il y a une infinité de solutions : les droites sont
confondues.

Etape 3 : Résoudre le système
Résolvons le système !
• x = 1 = −1 + t′ donc t′ = 1 + 1 = 2.
• y = 1 + t = t′ donc 1 + t = 2 donc t = 2 − 1 = 1.
Donc :
• t=1
• t′ = 2
• x=1
• y=2
• z=1

Etape 4 : Conclure
Les droites sont donc sécantes.
• Elles se coupent en M (1; 2; 1).