NOTION Les-fonctions-exponentielles-de-base-q

Le 20-03-2019

La fonction exponentielle

Les fonctions exponentielles de base
q
Définition
Fonction exponentielle de base q
Soit q un réel strictement positif (q > 0).
On appelle fonction exponentielle de base q,
toute fonction f définie sur R par :
• f (x) = q x
Exemple
• La fonction g : x 7→ 3x est une fonction
exponentielle de base 3.
• La fonction h : x 7→

( 1 )x

est une fonction

2

exponentielle de base 12 .
Remarque
Attention : l’hypothèse q > 0 est très importante !
Propriété
Continuité et signe de la fonction exponentielle
de base q
• La fonction exponentielle de base q est
dérivable sur R, et est donc aussi continue
sur R.
• q x > 0 pour tout x appartenant à R (car q > 0).
Théorème
Sens de variation de la fonction exponentielle
de base q selon la valeur de q
Soit f : x 7→ q x définie sur R.
3 cas :
• si 0 < q 1, alors f est croissante sur R.

Exemple
• La fonction h définie sur R par h(x) =
décroissante sur R car 0 <

1
2

( 1 )x
2

est

1.
Théorème
Relation

fonctionnelle

de

la

fonction

exponentielle
Soit q > 0.
Pour tous réels x et y :
• q x+y = q x × q y
Remarque
On dit que la fonction exponentielle « transforme
» une somme en produits.
Exemple
• 2x+1 = 2x × 21 = 2 × 2x
• 10^x^2+3= 10^x^2×103 = 1000 × 10^x^2

Propriété
Propriétés de calculs sur les puissances
De cette relation fonctionnelle découlent les
propriétés suivantes sur les puissances.
Soient q > 0, et x, y et α des réels.
On a :
• q0 = 1
• q −x =

1
qx

• q x−y =

qx
qy

• q αx = (q x )α
Exemple
• 5−x =
• 2y−1 =

1
5x
2y
21

=

( 1 )x
5

= 12 2y

Définition
Racine n-ième de q
Soit q > 0 et n un entier naturel non nul (n ̸= 0).
On appelle racine ne de q le nombre réel :
1

• qn
Remarque
Pour n = 2, on retrouve la racine carrée :
1

• q2 =


q

Propriété
Racine n-ième à la puissance n
D’après la propriété sur les puissances vue plus
haut, on a :
1

• (q n )n = q