DEMO Unicité-dune-fonction-f-dérivable-sur-R-telle-que-ff-et-f01

Le 20-03-2019

La fonction exponentielle

Unicité d’une fonction f dérivable
sur R, telle que f ′ = f et f (0) = 1
Proposition :
Il existe une unique fonction f dérivable sur R, telle que
f ′ = f et f (0) = 1. Démontrer l’unicité de cette fonction.
Démonstration :
L’existence d’une telle fonction est admise.

On doit

seulement démontrer que cette fonction est unique.

Étape 1 : Poser le principe de la démonstration
• Démontrer que la fonction f est unique revient à
démontrer que si g est une autre fonction vérifiant
g ′ = g et g(0) = 1, alors forcément f = g.
• Démontrer que f
démontrer que

g
f

=

g revient par ailleurs à

= 1. Allons-y !

 
Étape 2 : Commencer par démontrer que f ne s’annule
pas
Pour démontrer que

g
f

= 1, encore faut-il démontrer

que f ne s’annule pas.
• On pose u la fonction définie sur R par u(x) = f (x)×
f (−x).
– Or on sait que f ′ (x) = f (x)
– et on sait que la dérivée de f (−x) est −f ′ (−x)
(fonction composée).
• Donc u′ (x) = f ′ (x)f (−x) + f (x)(−f ′ (−x)) (dérivée
d’un produit de fonctions).
– Or on sait que f ′ = f .
• Donc u′ (x) = 0 pour tout réel x.
• Donc u est constante sur R.
– Or on sait que u(0) = f (0) × f (0) = 1 × 1 = 1
• Donc pour tout réel x, u(x) = 1 = f (x) × f (−x). Or si
un produit de facteur ne s’annule pas, cela signifie
qu’aucun des deux facteurs ne s’annule.
• Donc f ne s’annule pas.
Étape 3 : Démontrer que
Démontrer que

g
f

g
f

=1

= 1 revient à démontrer que sa

dérivée est nulle et qu’elle prend la valeur 1 pour une
valeur particulière de x. C’est parti !
• On vient de démontrer que f ne s’annule pas sur R.
• Donc

g
f

est dérivable sur R.

Calculons la dérivée de fg  :
• ( fg )′ =

g ′ f −gf ′
f2

– Or par définition g ′ = g et f ′ = f
• Donc ( fg )′ = 0
• Donc

g
f

est bien constante sur R.

Démontrons maintenant que

g
f (x)

= 1 sur une valeur

particulière de x.
• ( fg )(0) =

g(0)
f (0)

– Or par définition g(0) = 1 et f (0) = 1.
• Donc ( fg )(0) = 1
Étape 4 : Conclure la démonstration
On vient donc de démontrer que

g
f

est constante

et égale à 1 sur R.
• Donc g = f sur R.
• Donc il existe bien une unique fonction f dérivable
sur R telle que f ′ = f et f (0) = 1.