DEMO Limite-en-infty-dexp

Le 20-03-2019

La fonction exponentielle

Limite en +∞ d’exp
Proposition :
Démontrer que limx→+∞ ex = +∞.
Démonstration :
Étape 1 : Poser le principe de la démonstration 
• Pour démontrer qu’une fonction tend vers +∞, on
utilise très souvent le théorème de comparaison de
limites.
• Il faut donc trouver une fonction g telle que ex >
g(x) à partir d’un réel a, avec limx→+∞ g(x) = +∞
• Or le cours nous dit que « exp l’emporte sur x », alors
que x bien vers +∞. C’est tout trouvé !
 
Étape 2 : Démontrer que exp(x) > x à partir d’un certain
réel .
On pose u la fonction définie sur R par u(x) = ex − x. On
étudie cette fonction :
• Pour tout réel u′ (x) = ex − 1.
– Or par définition e0 = 1 et e est strictement
croissante.
• Donc sur ]0; +∞[, u′ (x) > 0 et u est strictement
croissante.
Or u(0) = e0 − 0 = 1 et u est strictement croissante sur
]0; +∞[.
• Donc pour tout réel x strictement positif : u(x) >
1 > 0.
• Donc pour tout réel x strictement positif : ex −x > 0,
donc ex > x.
Étape 3 : Utiliser le théorème de comparaison de limites
• Pour tout réel x strictement supérieur à 0 : ex > x.
– Or on sait que limx→+∞ x = +∞
• Donc par comparaison, limx→+∞ ex = +∞