NOTION Point-dinflexion

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Convexité
Point d’inflexion
Définition
Point d’inflexion
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et
Cf sa courbe représentative.
Un point d’inflexion de la courbe Cf est un point
où la courbe traverse sa tangente.
Exemple
Un exemple « célèbre » est la fonction cube dont
la courbe admet l’origine du repère comme point
d’inflexion.

Théorème
Existence d’un point d’inflexion
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un
intervalle I et Cf sa courbe représentative et un
point M (xM ; yM ) un point de la courbe.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
• Cf admet M comme point d’inflexion.
• f change de convexité en M .
• f ′ change de sens de variation en xM .
• f ′′ s’annule en xM en changeant de signe.
Exemple
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x3 −
6×2 + 3x + 1 et Cf sa courbe représentative dans
un repère orthogonal.
• f est deux fois dérivable sur R et f ′′ (x) = 6x −
12
• f ′′ , comme fonction affine, s’annule donc
une seule fois en changeant de signe en x =
2.
• Le point M de coordonnées (2; −9) est donc
le seul point d’inflexion de la courbe, comme
on peut le vérifier sur sa représentation
graphique.